Рішення поліноміальною рівняння
Поліноміальний рівняння - го ступеня має вигляд:.
Для вирішення поліноміальних рівнянь найчастіше користуються методом підбору коренів, тобто ви інтуїтивно підбираєте корінь, підставляєте в рівняння і перевіряєте, чи рівне це нулю.
Але просто вгадувати коріння досить складно. Щоб хоч якось спростити цю справу, будемо користуватися фундаментальними теоремами і «перевіреними методами».
Теорема Безу. Припустимо, ми маємо деякий многочлен. Тоді залишок від ділення цього многочлена на лінійний двочлен буде дорівнює значенню многочлена в точці. т. е..
Слідство теореми Безу. Для того, щоб многочлен F (x) ділився на всі сто, необхідно і достатньо, щоб число було коренем цього многочлена, т. Е..
Тоді на основі цієї теореми можемо скористатися так званою схемою Горнера. яка дозволяє легко ділити поліном (многочлен) на двочлен виду.
Наша мета підібрати таке число. щоб при розподілі нашого полінома на залишок дорівнював нулю.
Припустимо, ми маємо поліном ступеня. Тоді метод перевірки підібраних коренів полягає в наступному:
Наводимо поліном до стандартного, звичного нам виду (якщо він не наведено) -.
Виписуємо коефіцієнти перед невідомими в тому порядку, в якому вони йдуть, і заносимо їх в таблицю:
Підбираємо довільний корінь, який може виявитися рішенням поліноміальною рівняння. Припустимо,, де - деяке дійсне число. Перевіримо, чи є воно рішенням вихідного поліноміальною рівняння.
Вписуючи корінь зліва від таблиці:
Перший коефіцієнт просто переносимо в нижню клітинку.
Тепер множимо наше коріння на цей коефіцієнт () і складаємо результат з наступним коефіцієнтом. Число, що записуємо в наступну вільну нижню осередок.
Тепер точно так же множимо корінь на це нове число, додаємо результат до наступного коефіцієнту. число, записуємо в наступну нижню осередок.
Продовжуємо ці дії поки не заповнимо все нижні клітини таблиці.
А дві останні осередки будуть виглядати наступним чином:
Таким чином, якщо число (яке, до речі, і є залишком при розподілі многочлена на), що стоїть в останній нижній клітці дорівнює нулю, то наш можливий корінь задовольняє рівності.
Як видно з формули в останній комірці - це те ж рівняння, де замість ми підставили число. з чого випливає справедливість методу вирішення за допомогою схеми Горнера.
Якщо нам необхідно знайти всі корені поліноміальною рівняння, то користуємося схемою кілька разів поспіль.
Зауваження. Теорема про раціональні коріння многочлена. Якщо многочлен, у якого всі коефіцієнти - цілі числа, має раціональний корінь виду. то є дільником вільного члена. а - дільником старшого коефіцієнта.
Зручність цього методу полягає в тому, що не треба відразу зводити корінь в -у ступінь, ми це робимо поетапно, позбавляючи себе від обчислення «масивних» чисел. .
Виписуємо коефіцієнти в таблицю.
Пробуємо який-небудь цілий корінь (з подільників вільного члена 8), наприклад, 1.
Перший коефіцієнт 1 зносимо в нижню осередок.
Множимо корінь на перший коефіцієнт, результат складаємо з другим коефіцієнтом:.
Роблячи ті ж дії, отримуємо другий коефіцієнт:.
І так далі, заповнюємо всю таблицю.
В останній нижній клітці стоїть нуль, значить, корінь 1 підходить.
Знайшовши перший корінь, можемо переписати ісходноу рівняння таким чином:
Зауважимо, що коефіцієнти в другій скобці - це отримані числа в нижніх осередках вищенаведеної схеми.
Знайдемо залишилися коріння полінома (якщо вони є). Для цього знаходимо коріння цієї другої дужки. Схему Горнера можна навіть не переписувати заново, а продовжити.
Пробуємо коріння 1.
Аналогічним чином знаходимо залишилися коріння рівняння.
Значить, кінцевий вигляд поліноміальною рівняння виглядає так: