Простими рівняння з модулями називаємо рівняння виду
в яких змінна входить одноразово і лінійно.
Вирішувати модульні рівняння можна як за допомогою методу розкриття модулів так і графічно. У даній статті велику увагу буде приділено саме графічного методу розкриття модулів. Для цього поступово буде розкрита суть перетворень з модулями. Таким чином вдається вирішити безліч тестових завдань в яких потрібно знайти кількість рішень рівняння з модулем.
Для наочності наведемо графік модуль функції y = | x | ( "Галочки")
Далі представимо зміщення графіка модуль функції по осі Ox. наприклад y = | x-7 |. Такий запис означає що функція дорівнює нулю коли дужка дорівнює нулю
x-7 = 0; -> x = 7.
Так що "галочка" переноситься вправо на 7.
Якщо підмодульних функцію помножити на (-1) то графік функції не зміниться | 7-x | = | x-7 |.
Якщо в модулі маємо підсумовування | x + 5 | то зсув графіка модуль функції виконуємо в сторону негативних змінних
Найцікавіше в обчисленнях відбувається коли маємо рівняння виду модуль в модулі
|| x | -6 |, || x | +3 |
Тоді виконуємо перенесення графіка внутрішнього модуля по осі вниз або вгору і симетричне відображення значень, які йдуть нижче осі oх вгору.
Наступна функція це модуль піднятий вгору на три.
Далі, якщо в завданні запитують "Яка кількість коренів рівняння || x | -6 | = 2?" То необхідно провести лише лінію y = 2 і підрахувати кількість точок перетину з графіком модуль функції
Рівняння має 4 рішення. Краще вирішувати графічно рівняння з модулями на листку в клітинку, є найкраща прив'язка до квадратикам. Завдання в кожному окремому випадку зводиться до зсуву, відображення і паралельного переносу графіка модуль функції | x |. Вирішимо кілька прикладів щоб Ви розуміли наскільки ефективна методика графічного розкриття модулів.
Приклад 1. Знайти корені рівняння || x-2 | -5 | = 3.
Рішення: Маємо завдання типу модуль від модуля. Виконуємо побудова першого (внутрішнього) модуля
Далі паралельно переносимо лінії вниз на 5. щоб отримати графік функції y = | x-2 | -5
Наступним кроком відображаємо все що знаходиться нижче осі абсцис. Це і буде шукана модуль функція y = || x-2 | -5 |. Також виконуємо побудову прямої у = 3
Неважко визначити по малюнку що рішеннями рівняння з модулями будуть значення
x = -6; x = 0; x = 4; x = 10.
На цьому приклад виконаний. Далі буде менше деталізації, проте суть алгоритму графічного побудови Вам буде зрозумілий.
Приклад 2. Знайти кількість коренів наступного рівняння з модулем ||| x + 1 | -3 | -5 | = 2.
Рішення: Маємо рівняння з двома вкладеними модулями. Графік перший вкладений модуля отримаємо зміщенням в негативну сторону осі абсцис модуль функції на одиницю. Далі паралельно переносимо отриманий графік вниз на 3 та відобразимо щодо осі Ox все мінусові y. Отриманий графік знову опускаємо вниз, на цей раз на 5 клітин і симетрично відображаємо все що знаходиться нижче осі Ox. Виконуємо побудова правого боку рівняння - прямий y = 2.
В результаті у Вас повинен вийти схожий кінцевий графік модуль функції
З побудови бачимо, що маємо п'ять точок перетину прямої з модуль-функцією, а отже і 5 коренів рівняння. Ось і всі рішення прикладу з модулями. Класичне розкриття модулів для цього прикладу займає дуже багато часу і існує ймовірність неправильного рішення рівняння. Перевага графічного методу за часом рішення видна неозброєним оком.
Приклад 3. При якому значенні параметра a рівняння з модулем || x-4 | -2 | = a-3 має три, чотири кореня?
Рішення: Виконуємо побудова модулів, які знаходяться в лівій частині рівняння
З побудови бачимо, якщо правий бік рівняння з модулями дорівнює 2 то маємо три точки перетину. Якщо від 0 до 2 не враховуючи країв - 4 коріння рівняння. Звідси отримаємо рівняння для определеенной параметра
a-3> 0; a> 3;
a-3<2; a <5 .
У підсумку: рівняння має 3 корені коли параметр дорівнює a = 5
і 4 кореня якщо параметр належить інтервалу a = (3..5).