Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площа криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f (x). Якщо графік розташований нижче осі Ох, тобто f (x) <0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x)> 0, то площа має знак "+".
Для знаходження сумарної площі використовується формула.
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями
Шукана площа (заштрихована на рисунку) може бути знайдена за формулою:
Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, заданої параметрично
. прямими x = a, x = b і віссю Ох, то площа її знаходиться за формулою
де # 945; і # 946; визначаються з рівності х (# 945;) = а і х (# 946;) = b.
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженою еліпсом x = cost, y = 2sint.
Знайдемо спочатку ¼ площі S. Тут х змінюється від 0 до 1, отже t змінюється від π / 2 до 0. Знаходимо:
Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої кривою, заданої параметрично:.
З'ясуємо, яку фігуру обмежує задана крива. Функції x = x (t) і y = y (t) визначено, безперервні і мають похідні при будь-якому дійсному значенні параметра. Якщо. то. а якщо. . то.
Найбільше значення x приймає при x '(t) = 0, 2-2t = 0; t = 1, x (1) = 1; y (1) = 1. Якщо x = 0, то t = 2 або t = 0. При цих же значеннях параметра y = 0. Таким чином, точка з координатами (0; 0) є точкою самопересеченія. Отже, шукана площа обмежена петлею кривої, розташованої в першому квадраті, і відповідає зміні параметра від t = 0 до t = 2 при позитивному напрямку обходу.
Площа шуканої фігури можна обчислити за формулою
Оскільки деякі криві можуть бути задані простими параметричними рівняннями, то обчислення площі фігури, обмеженої замкнутою кривою, в декартових координатах найчастіше зручніше проводити, перейшовши до параметричної формі записи.