Розглянемо сьогодні кілька завдань на визначення площі фігури, що складається з усіх точок, що задовольняють деякому рівнянню. З одного боку, завдання алгебри, з іншого боку, буде використана формула визначення площі трикутника за координатами його вершин, яка рідко використовується, тому завдання не чужа і геометрії.
Завдання. Чому дорівнює площа фігури на координатної площині, що складається з усіх точок, що задовольняють рівняння
З чого почати вирішення цього завдання? Ми вже здогадуємося, що під знаками модуля ховаються рівняння прямих. Тому необхідно знати, з яким знаком розкрити цей модуль. У цьому нам допоможе права частина рівняння.
Наприклад, складемо ось таке «часткове» рівняння.
Важливо з'ясувати, як були розкриті модулі, щоб в правій частині вийшло те, що вийшло. Нескладним перебором отримуємо:
Тобто необхідно зняти перший і другий модуль зі знаками «+», а останній - з мінусом. Тоді отримаємо систему прямих:
Обидві змінні абсолютно рівноправні, тому при побудові можемо скористатися як площиною. так і площиною. Виберемо другу. Тоді нам належить побудувати прямі:
Прямі будуть перетинатися, координати точок перетину можна знайти попарним прирівнянням ординат. Перетин першої і другої прямих:
Перетин першої і третьої прямих:
Перетин другий і третій прямих:
Тепер, знаючи координати трьох точок перетину прямих, можемо знайти площу фігури, а саме, трикутника. Запишемо формулу і порахуємо:
Для тренування пропоную вам вирішити подібні завдання:
Завдання. Чому дорівнює площа фігури на координатної площині, що складається з усіх точок, що задовольняють рівняння
Завдання. Чому дорівнює площа фігури на координатної площині, що складається з усіх точок, що задовольняють рівняння