З деяких пір мене зацікавили такі фігури, які на перший погляд здаються звичайними, а придивившись можна побачити, що щось в них не так. Основний інтерес для мене представляли так звані неможливі фігури, подивившись на які створюється враження, що існувати в реальному світі вони не можуть. Я захотіла дізнатися про них більше.
«Світ неможливих фігур» одна з найцікавіших тем, яка отримала свій бурхливий більш розвинутою всього лише на початку ХХ століття. Однак, набагато раніше, багато вчених і філософи займалися цим питанням. Навіть такі прості об'ємні форми, як куб, піраміда, паралелепіпед можна уявити як комбінацію декількох фігур, що знаходяться на різній відстані від ока спостерігача. Завжди при цьому повинна бути лінія, по якій зображення окремих частин суміщають в цілісну картину.
«Неможлива фігура - це виконаний на папері тривимірний об'єкт, який не може існувати в дійсності, але який, проте, можна бачити як двомірне зображення». Це один з видів оптичних ілюзій. фігура, що здається на перший погляд проекцією звичайного тривимірного об'єкту, при уважному розгляді якої стають видні суперечливі з'єднання елементів фігури. Створюється ілюзія неможливості існування такої фігури в тривимірному просторі.
Переді мною постало питання: «Чи існують в реальному світі неможливі фігури?»
1.Виясніть, як створюються нереальні фігури.
2. Знайти області прімененіяневозможних фігур.
1.Изучить літератури по темі «Неможливі фігури».
2.Составіть классіфікаціюневозможних фігур.
3.Рассмотреть способи побудови неможливих фігур.
4.Создать неможливу фігуру.
Тема моєї роботи актуальна адже розуміння парадоксів є одним з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють кращі математики, вчені і художники. Багато робіт з нереальними об'єктами можна віднести до «інтелектуальним математичним іграм». Моделювати подібний світ можна тільки за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І для розвитку просторової уяви виявляються корисними неможливі фігури. Людина невпинно подумки створює навколо себе те, що для нього буде просто і зрозуміло. Він навіть не може собі уявити, що деякі об'єкти, що оточують його, можуть бути «неможливими». Насправді світ єдиний, але розглядати його можна з різних сторін.
Неможливі фігури досить часто зустрічаються на древніх гравюрах, картинах і іконах - в одних випадках ми маємо з явними помилками передачі перспективи, в інших - з навмисними викривленнями, зумовленими художнім задумом.
У середньовічній японській і перської живопису неможливі об'єкти є невід'ємною частиною східного художнього стилю, що дає лише загальний начерк картини, деталі якої «доводиться» додумувати глядачеві самостійно, відповідно до своїх уподобань. Ось перед нами школа. Нашу увагу привертає архітектурна споруда на задньому плані, геометрична суперечливість якого очевидна. Його можна інтерпретувати і як внутрішню стіну кімнати, і як зовнішню стіну будівлі, але обидві ці інтерпретації неправильні, оскільки ми маємо справу з площиною, одночасно є і зовнішньої, і зовнішньою стінкою, тобто на картині зображений типовий неможливий об'єкт.
Картини з перекрученою перспективою зустрічаються вже на початку першого тисячоліття. На мініатюрі з книги Генріха II, створеної до 1025 року і що зберігається в баварській державній бібліотеці в Мюнхені, намальована Мадонна з немовлям. На картині зображений звід, що складається з трьох колон, причому середня колона за законами перспективи повинна розташовуватися попереду Мадонни, але знаходиться за нею, що надає картині ефект нереальності.
«Неможливі фігури» діляться на 4 групи. Отже, перша:
Дивовижний трикутник - трібар.
Ось ще кілька прикладів неможливих фігур на основі трібара.
Потрійний деформований трібар
Цю фігуру найчастіше називають «Нескінченної сходами», «Вічної сходами» або «Сходами Пенроуза» - по імені її творця. Її також називають «безперервно висхідній і низхідній стежкою».
«Нескінченної сходами» з успіхом скористався художник Мауріц К. Ешер, на цей раз в своїй літографії «Сходження і сходження», створеної в 1960 році.
Творці цих сходів скористалися паралельними лініями при розробці кінцевих деталей блоків, що знаходяться на однаковій відстані; здається, що деякі блоки перекручуються, щоб відповідати ілюзії.
Наступна група фігур під загальною назвою «Космічна вилка». З цією фігурою ми входимо в саму серцевину і суть неможливого. Може бути, це найчисленніший клас неможливих об'єктів.
З практичної точки зору цей дивний тризуб або механізм у вигляді скоби, абсолютно непридатний. Деякі називають його просто «прикрою помилкою». Один з представників аерокосмічної промисловості запропонував використовувати його властивості при конструюванні Міжпросторового космічного камертона.
Вежа з чотирма колонами-близнюками.
Він не є неможливим об'єктом, проте є фігурою, в якій параметр глибини може сприйматися неоднозначно.
Коли ми вдивляємося в куб Неккера, то помічаємо, що грань з точкою знаходиться то на передньому, то на задньому плані, вона перестрибує з одного положення в інше.
«Батьком» неможливих фігур вважається шведський художник Оскар Рутерсвард. Шведський художник Оскар Рутерсвард, фахівець зі створення зображень неможливих фігур стверджував, що погано розбирається в математиці, але, тим не менш, звів своє мистецтво в ранг науки, створивши цілу теорію створення неможливих фігур за певним ряду шаблонів.
Він розділив фігури на дві основні групи. Один з них він назвав «справжні неможливі фігури». Це двомірні зображення тривимірних тіл, які на папері можна розфарбувати і нанести на них тіні, але у них немає монолітної і стабільної глибини.
Інший вид - сумнівні неможливі фігури. Ці фігури не є єдиних цілісних тел. Вони є з'єднанням двох або більшого числа фігур. Їх не можна ні розфарбувати, ні нанести на них світло і тіні.
Справжня неможлива фігура складається з фіксованої кількості можливих елементів, а сумнівна «втрачає» певну кількість елементів, якщо за ними простежити очима.
Один варіант цих неможливих фігур дуже легко виконати, і багато хто з тих, хто машинально креслить геометричні
На малюнку ми бачимо три варіанти сумнівних неможливих фігур. Зліва трьох-семібалочнік, побудований з семи ліній, в якому три балки перетворюються в сім. Фігура в середині, побудована з трьох ліній, в якій одна балка перетворюється в два круглих бруса. Фігура справа, побудована з чотирьох ліній, в якій два круглих бруса перетворюються в дві балки
Неможливі фігури - можливі!
Багато хто вважає, що неможливі фігури дійсно неможливі, і їх не можна створити в реальному світі. Але треба пам'ятати, що будь-який малюнок на аркуші паперу - це проекція тривимірної фігури. Отже, будь-яка фігура, намальована на аркуші паперу, повинна існувати в тривимірному просторі. Неможливі об'єкти на картинах є проекції тривимірних об'єктів, а значить, об'єкти можна реалізувати у вигляді скульптурних композицій. Існує безліч способів їх створення. Один з них - використання кривих ліній в якості сторін неможливого трикутника. Створена скульптура виглядає неможливою тільки з єдиною точки. З цієї точки криві боку виглядають прямими, і поставлена мета буде досягнута - створено реальний «неможливий» об'єкт.
український художник Анатолій Коненко, наш сучасник, розділив неможливі фігури на 2 класу: одні можна змоделювати в реальності, а інші - не можна. Моделі неможливих фігур називаються моделями Амес.
Я виготовила модель Амес свого неможливого скриньки. Я взяла сорок два кубика і склеїв їх, вийшов куб, в якому частина ребра відсутня. Зазначу, що для створення повної ілюзії необхідний правильний кут зору і вірне висвітлення.
Я вивчила неможливі фігури із застосуванням теореми Ейлера і прийшла до наступного висновку: теорема Ейлера, вірна для будь-якого опуклого багатогранника, невірна для неможливих фігур, але вірна для їх моделей Амес.
Я створюю свої неможливі фігури, користуючись радою О.Рутерсварда. Я накреслила на папері сім паралельних відрізків. Поєднала їх знизу ламаною лінією, а зверху надала їм форму паралелепіпедів. Подивіться на неї спочатку зверху потім знизу. Таких постатей можна придумати нескінченно багато. Див. додаток.
Неможливі фігури знаходять іноді несподіване застосування. Оскар Рутерсвард розповідає в книзі «Omojli ga figurer» про використання малюнків імп-арту для психотерапії. Він пише, що картини своїми парадоксами викликають подив, загострюють увагу і бажання розшифрувати. Психолог Роджер Шепард використовував ідею тризуба для своєї картини неможливого слона.
У Швеції їх застосовують в стоматологічній практиці: розглядаючи картини в приймальні, пацієнти відволікаються від неприємних думок перед кабінетом стоматолога.
Неможливі фігури надихнули художників на створення цілого нового напряму в живописі, названого імпоссібілізмом. До імпоссібілістам відносять голландського художника Ешера. Його перу належать відомі літографії «Водоспад», «Сходження і сходження» і «Бельведер». Художник використав ефект «нескінченної сходи», відкритий Рутесвардом.
За кордоном, на вулицях міст, ми можемо побачити архітектурні втілення неможливих фігур.
Найбільш відоме використання неможливих фігур в масовій культурі - логотип автоконцерну «Рено»
Математики стверджують, що і палаци, в яких можна спуститися вниз по сходах, що ведуть нагору, можуть існувати. Для цього потрібно лише побудувати таку споруду не в тривимірному, а, скажімо, в чотиривимірному просторі. А вже в віртуальному світі, який відкриває нам сучасна комп'ютерна техніка, і не таке можна накоїти. Ось так в наші дні здійснюються задумки людини, який ще на зорі століття повірив в існування неможливих світів.
Неможливі фігури змушують наш розум спочатку побачити те, чого бути не повинно, потім шукати відповідь - що ж зроблено не так, у чому прихована родзинка парадоксу. А відповідь знайти часом не так - то просто - він прихований в оптичному, психологічному, логічному сприйнятті малюнків.
Розвиток науки, необхідність мислити по-новому, пошуки прекрасного - всі ці вимоги сучасного життя змушують шукати нові методи, які здатні змінити просторове мислення, уяву.
Вивчивши літературу по темі, я змогла відповісти на питання «Чи існують в реальному світі неможливі фігури?» Я зрозуміла, що неможливе можливо і нереальні фігури можна зробити своїми руками. Я створила модель Амес «Неможливого куба» і перевірила на ньому теорему Ейлера. Розглянувши способи побудови неможливих фігур, я змогла намалювати свої неможливі фігури. Мені вдалося показати, що
Вивод1: Всі неможливі фігури можуть існувати в реальному світі.
Вивод2: Теорема Ейлера, вірна для будь-якого опуклого багатогранника, невірна для неможливих фігур, але вірна для їх моделей Амес.
Вивод3: Чи знайдеться ще багато областей, в яких будуть використовуватися неможливі фігури.
Таким чином, можна сказати, що світ неможливих фігур надзвичайно цікавий і різноманітний. Вивчення неможливих фігур має досить важливе значення з точки зору геометрії. Робота може бути використана на заняттях з математики для розвитку просторового мислення учнів. Для творчих людей, схильних до винахідництва, неможливі фігури є своєрідним важелем для створення чогось нового, незвичного.
Левітін Карл Геометрична рапсодія. - М. Знання, 1984, -176 с.
Пенроуз Л. Пенроуз Р. Неможливі об'єкти, Квант, № 5,1971, с.26