ТЕМА. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
Питання 1. Основні поняття і визначення.
Вектором називається спрямований відрізок (впорядкована пара точок). До векторах відноситься також і нульовий вектор, початок і кінець якого збігаються.
Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.
Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор коллінеарен будь-якому вектору.
Умови коллинеарности двох векторів
Для коллинеарности двох векторів необхідно і достатньо, щоб їх проекції були пропорційні:.
Вектори називаються компланарними, якщо існує площину, якій вони паралельні.
Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.
Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають однакові модулі.
Всякі вектори можна привести до спільного початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даними і мають спільний початок. З визначення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, рівних йому.
Лінійними операціями над векторами називається додавання і множення на число.
Сумою векторів є вектор -
Твір - . при цьому коллінеарен.
Вектор сонаправлени з вектором (-), якщо a> 0.
Вектор протилежно спрямований з вектором (-¯ ), Якщо a <0.
5) (a × b) = a (b) - асоціативність
6) (a + b) = a + b - дистрибутивность
7) a (+) = a + a
Базисом в просторі називаються будь-які 3 некомпланарних вектора, взяті в певному порядку.
Базисом на площині називаються будь-які 2 неколінеарна вектори, взяті в певному порядку.
Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.
Якщо - базис в просторі і. то числа a, b і g - називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі.
У зв'язку з цим можна записати наступні властивості:
- рівні вектори мають однакові координати,
- при множенні вектора на число його компоненти теж множаться на це число,
- при додаванні векторів складаються їх відповідні компоненти.
Лінійна залежність векторів.
Вектори називаються лінійно залежними. якщо існує така лінійна комбінація. прі не рівних нулю одночасно ai. тобто .
Якщо ж тільки при ai = 0 виконується. то вектори називаються лінійно незалежними.
Властивість 1. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.
Властивість 2. Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або кілька векторів, то отримана система теж буде лінійно залежна.
Властивість 3. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію інших векторів.
Властивість 4. Будь-які 2 колінеарних вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які 2 лінійно залежні вектори колінеарні.
Властивість 5. Будь-які 3 компланарних вектори лінійно залежні і, навпаки, будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні.
Властивість 6. Будь-які 4 вектори лінійно залежні.
Для визначення положення довільної точки можуть використовуватися різні системи координат. Положення довільної точки у будь-якій системі координат має однозначно визначатися. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливо завдання найрізноманітніших систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричній, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі найбільш часто застосовуються на практиці системи координат.
Декартова система координат.
Зафіксуємо в просторі точку О і розглянемо довільну точку М.
Вектор назвемо радіус вектором точки М. Якщо в просторі задати деякий базис, то точці М можна зіставити деяку трійку чисел - компоненти її радіус вектора.
Декартовой системою координат в просторі називається сукупність точки і базису. Точка називається початком координат. Прямі, що проходять через початок координат називаються осями координат.
1-я вісь - вісь абсцис
2-я вісь - вісь ординат
3-тя вісь - вісь аплікат
Щоб знайти компоненти вектора потрібно з координат його кінця відняти координати початку.
Базис називається ортонормованим. якщо його вектори попарно ортогональні і дорівнюють одиниці.
Декартова система координат, базис якої ортонормированном називається декартовій прямокутній системою координат.
Дано вектори (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) і (3; 2; 2) в деякому базисі. Показати, що вектори. і утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.
Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, іншими словами, якщо рівняння, що входять в систему:
Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відмінний від нуля.
Для вирішення цієї системи скористаємося методом Крамера.
Разом, координати вектора в базисі. . . <-1/4, 7/4, 5/2>.
Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками початку і кінця вектора. Якщо задані дві точки в просторі А (х1. Y1. Z1), B (x2. Y2. Z2), то.
Якщо точка М (х, у, z) ділить відрізок АВ у співвідношенні l / m, рахуючи від А, то координати цієї точки визначаються як:
В окремому випадку координати середини відрізка знаходяться як:
Лінійні операції над векторами в координатах.
Нехай задані вектори в прямокутній системі координат
тоді лінійні операції над ними в координатах мають вигляд: