Декартові координати вектора в просторі
Ключові слова: вектор, координати, довжина вектора
Прямі x, y, z називаються координатними осями (або осями координат),
точка їх перетину O - початком координат,
а площині xOy. xOz і yOz - координатними площинами.
Точка O розбиває кожну координатну вісь на дві промені, які називаються положітельнойі негативною півосями.
Координатою точки A по осі x будемо називати число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині відрізка OAx. позитивне, якщо точка A лежить на позитивній півосі x. і негативне, якщо вона лежить на негативній півосі.
Аналогічно можна визначити координати y і z точки A. Координати точки A записуються в дужках поруч з назвою цієї точки: A (x; y; z).
Одиничним вектором або ортом називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці і який спрямований уздовж будь-якої координатної осі.
- Одиничний вектор, спрямований уздовж осі x. позначається $$ \ vec i $$.
- Одиничний вектор, спрямований уздовж осі y, позначається $$ \ vec j $$.
- Одиничний вектор, спрямований уздовж осі z. позначається $$ \ vec k $$.
Вектора $$ \ vec i $$, $$ \ vec j $$, $$ \ vec k $$ називаються координатними векторами.
- Будь-вектор $$ \ vec a $$ можна розкласти по координатним векторах: $$ \ vec a = x \ cdot \ vec i + y \ cdot \ vec j + z \ cdot k $$.
- Коефіцієнти розкладання визначаються єдиним чином і називаються координатами вектора $$ \ vec a $$ в даній системі координат.
Властивості векторів, заданих координатами
- Координати нульового вектора дорівнюють нулю.
- Координати рівних векторів відповідно рівні.
- Координати вектора суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів.
- Координати вектора різниці двох векторів рівні різницям відповідних координат цих векторів.
- Координати вектора твори даного вектора на число дорівнюють добуткам відповідних координат цього вектора на дане число.
Перпендикулярність векторів: $$ \ vec a (x_; y_; z_), \ quad \ vec b (x_; y_; z_) \ Rightarrow \ vec a \ cdot \ vec b = 0 \ Leftrightarrow
x_ \ cdot x_ + y_ \ cdot y_ + z_ \ cdot z_ = 0 $$
Колінеарність векторів: $$ \ vec a (x_; y_; z_), \ quad \ vec b (x_; y_; z_) \ Rightarrow \ frac> = \ frac> = \ frac> $$ якщо координати векторів не рівні нулю.