Визначення 7. Назвемо базисом в просторі три некомпланарних вектора, взятих в певному порядку.
Базис дозволяє однозначно зіставити кожному вектору впорядковану трійку чисел - коефіцієнти розкладання цього вектора по векторах базису. Навпаки, кожної впорядкованої трійки чисел за допомогою базису ми зіставимо вектор, якщо складемо лінійну комбінацію.
Визначення 8. Якщо - базис і. то числа називаються координатами вектора в даному базисі. Прийнята запис.
Аналогічно визначаються координати вектора на площині.
Визначення 9. Декартовой системою координат в просторі називається сукупність точки і базису. Точка - початок координат; прямі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів - осями координат. Перша - віссю абсцис, друга - віссю ординат, третя - віссю аплікат.
Площині, що проходять через осі координат, називаються координатними площинами. Координати радіуса - вектора точки М, назвемо координатами самої точки М, М (х; y; z).
У декартовій системі координат базис назвемо ортонормованим. Його вектори попарно ортогональні і по довжині дорівнюють одиниці. Всі вони мають спільний початок точку О (0; 0; 0) і напрямок відповідно осях координат. Будемо називати їх одиничними або ортами. Тоді будь-який вектор можна розкласти по ортам, записавши його у вигляді комбінації. де - координати вектора.
§3.4 Лінійні операції над векторами, заданими своїми координатами.
Нехай в базисі задані вектори та
1. Додавання. Кожна координата суми двох (або більше) векторів дорівнює сумі відповідних координат доданків:
Нехай в декартовій системі координат вектор заданий двома точками
і Знайти координати вектора
За правилом віднімання векторів Згідно з визначенням координат точки:
Щоб знайти координати вектора, заданого координатами точок початку і кінця, треба з координат кінця вектора відняти відповідні координати початку.
Приклад. А (-1; 2; 3) В (0; -1; 1)
Кожна координата добутку вектора на число дорівнює добутку відповідної координати даного вектора на це число:
4. Розподіл відрізка в даному відношенні
Завдання. Дано точки і Знайти точку. ділить відрізок М1 М2 щодо