метод сфер

Ще один метод побудови лінії перетину поверхонь обертання - метод сфер. Він застосовується у випадках, коли метод січних площин використовувати недоцільно - наприклад, коли осі однієї або обох поверхонь обертання розташовані так, що при перетині цих поверхонь з площинами, паралельними площинам проекцій, утворюються складні фігури. Один з таких випадків - коли осі поверхонь обертання перетинаються в просторі. Нехай одна з поверхонь - циліндр, а друга - тіло обертання, утворене кривої 2-го порядку. Обмовимося, що для застосування методу сфер необхідно привести креслення до такого виду, коли осі обертання обох поверхонь паралельні одній з площин проекцій.

1. Нехай вихідний креслення виглядає так:

2. При побудовах такого роду доцільно застосовувати концентричні сфери-посередники, центри яких розташовані в точці перетину осей вихідних тіл обертання. Ці сфери, перетинаючись з вихідними тілами, утворять окружності, а шукані точки лінії перетину будуть загальними точками пар кіл, що належить двом тілам. Побудуємо «крайні» сфери - найбільшу і найменшу з усього діапазону. Видно, що найбільша з сфер пройде через найбільш віддалену від центру точку перетину поверхонь, а найменша стосуватиметься «внутрішньої» поверхні одного з тіл (сфери меншого діаметра вже не перетинають обидва тіла, тобто в побудові не беруть участь).

Ці сфери дадуть нам перші точки перетину поверхонь. Знаходимо їх так: спочатку будуємо лінії перетину сфери-посередника з кожним з тіл на фронтальному вигляді. Ці лінії - окружності, які на фронтальному вигляді перетворюються в прямі:

3. Перетин двох ліній, утворених однією сферою, дасть відповідну точку шуканої лінії перетину поверхонь (оскільки лінія симетрична щодо вертикальної площини, в якій лежать осі обох тіл, на фронтальному вигляді будемо будувати тільки видиму частину лінії. Отже, ось дві перші точки:

Переносимо ці точки на вигляд зверху. Тут важливо розуміти наступне: точки лежать на колах, утворених перетином сфер-посередників з кожним з тіл, причому це твердження справедливе для будь-яких проекцій. Тому нам потрібно побудувати ці кола на вигляді зверху для будь-якого з тіл (очевидно, що циліндр в цьому випадку незручний, оскільки його вісь нахилена) і перенести на них точки з фронтального виду. Сфери, зображені на вигляді зверху, можна видалити, щоб вони не заважали побудов:

4. Побудуємо ще кілька сфер-посередників, що охоплюють всю область перетину тел. Одна зі сфер повинна пройти через другу «пікову» точку - найнижчу точку перетину поверхонь. До речі, будувати цю сферу необов'язково - ця точка, як і верхня, явно видно на кресленні. Ось результати побудов для фронтальної проекції:

Для того, щоб не заплутатися в безлічі ліній побудови, можна видаляти їх після знаходження кожної точки. Також корисно виділити точки, що знаходяться на вигляді зверху нижче «межі видимості», іншим кольором. Ці точки на фронтальному вигляді розташовані нижче осі циліндра. Точка, яка відокремлює «нижні» точки від «верхніх», лежить на осі циліндра. У нашому випадку вона практично збігається з точкою, що лежить на малій сфері, взагалі ж вона вимагає окремого побудови:

Після з'єднання отриманих точок командою Spline і видалення всіх допоміжних ліній отримаємо такі результати:

Варто відзначити, що команда Spline може не відразу дати правильне відображення лінії перетину, особливо на вигляді зверху. Може виявитися доцільним малювати окремо «праву» і «ліву» частини кривої.

5. Залишилося тільки порівняти наші побудови з перетином двох поверхонь, яке Autocad будує автоматично. Для цього зобразимо вихідні тіла за допомогою команд 3D-моделювання, об'єднаємо їх і розташуємо поруч з отриманими кресленнями:

Як бачимо, метод сфер дозволяє досить адекватно зображати перетин складних поверхонь обертання. І хоча сьогодні він носить досить ілюстративний характер, розібратися в ньому дуже корисно для розуміння основ геометрії і тривимірного моделювання.