Для того, щоб застосовувати наведені вище теореми про стійкість, необхідно якимось чином знайти або побудувати функцію Ляпунова V.
Н.Г.Четаев запропонував спосіб побудови функції Ляпунова V у вигляді зв'язки інтегралів рівнянь руху.
Визначення 3.6. Функція V = V (x) називається першим інтегралом рівнянь руху (3.5.1)
якщо повна похідна за часом від функції V (x), обчислена в силу цих рівнянь,
тотожно дорівнює нулю, тобто
V | (1.18) = dV / dt | 1.18 = ∂V / ∂x1 dx1 / dt + ... + ∂V / ∂xN dxN /dt|1.18 = ∂V / ∂x1 F1 + ... + ∂V / ∂xN FN ≡ 0. (3.8)
З виразу (3.8) випливає, що V = V (x1. ..., xN) | (3.5.1) = const.
Приклади інтегралів рівнянь руху, знайдених за допомогою теорем механіки
1. Якщо на механічну систему діють лише консервативні сили, то повна енергія системи зберігається зовсім час руху. У цьому випадку має місце інтеграл повної енергії системи
Т + П = h = const. (3.9)
2. Якщо сили, що діють на механічну систему, не дають моменту щодо будь-якої нерухомої прямої (позначимо її вісь x), то проекція моменту кількості руху системи (або кінетичного моменту) G = Σ [rk. mk vk] (m - маса k-й точки системи; rk, vk
- радіус-вектор і швидкість k-й точки системи) на цю пряму зберігається. У цьому випадку ми маємо інтеграл проекції кінетичного моменту на вісь x:
Gx = const. (3.10)
3. Якщо сили, що діють на механічну систему, не дають моменту щодо будь-якої нерухомої прямої (наприклад, в разі відсутності сил), то вектор кінетичного моменту G зберігається. У цьому випадку ми маємо векторний інтеграл кінетичного моменту G = const.
У скалярному вигляді цей інтеграл іноді зручно записувати так U = G 2 = const. (3.11)
4. Якщо сили, що діють на механічну систему, не дають проекції на будь-яку нерухому пряму (позначимо її вісь x), то проекція кількості руху системи Qx = mvcx (m - маса всієї системи, vcx - проекція на вісь x швидкості центру мас системи) на цю пряму зберігається. У цьому випадку ми маємо інтеграл проекції кількості руху mvcx = const.
Можна виписати також і інші інтеграли рівнянь руху систем (нижче дивись конкретні приклади).
Якщо рівняння руху системи мають один, що не залежить від часу, перший інтеграл, наприклад, інтеграл повної енергії (3.9)
U = Т + П = const, (3.12)
то для дослідження стійкості незбуреного руху x = 0 можна вибрати функцію Ляпунова у вигляді
V = U (x) - U (0) = const (3.13)
Якщо дана функція Ляпунова буде задовольняти вимогам теореми Ляпунова про стійкість, то невозмущенное рух x = 0 буде стійко щодо змінних x1. ..., xN.
Якщо рівняння руху системи мають кілька незалежних від часу перших інтегралів
U1 (x) = c1 = const, U2 (x) = c2 = const, .... Uk (x) = ck = const, (3.14)
де x = (x1. ..., xN) T. то функцію Ляпунова можна побудувати у вигляді суми перших інтегралів (3.14).
Позначимо значення інтегралів (3.14) на невозмущенном русі x = 0 в такий спосіб
U1 (0) = c10 = const, U2 (0) = c20 = const, .... Uk (0) = ck0 = const. (3.15)