Рішенням системи називається впорядкована сукупність чисел така, що після заміни невідомих відповідно числами кожне рівняння системи перетворюється в правильну числову рівність.
Система називається сумісною. якщо вона має хоча б одне рішення.
Якщо система не має жодного рішення, то вона називається несумісною.
Спільна система називається визначеною. якщо вона має єдине рішення.
Якщо ж у системи є хоча б два різних рішення, то вона називається невизначеною.
Система називається однорідною. якщо всі вільні члени дорівнюють нулю. В іншому випадку, систему називають неоднорідною.
Системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними. якщо їхні збори рішень збігається, тобто будь-яке рішення однієї системи одночасно є рішенням іншого, і навпаки. Питання про можливість розв'язання системи лінійних рівнянь в загальному вигляді розглядається в наступній теоремі.
Теорема Кронекера-Капеллі.Сістема лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи.
Для спільних систем лінійних рівнянь вірні такі теореми.
1. Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу змінних, тобто, то система має єдине рішення.
2. Якщо ранг матриці спільної системи менше числа змінних, тобто, то система невизначена і має безліч рішень.
нехай; перменная називають основними або базовими. якщо визначник матриці з коефіцієнтів при них (тобто базисний мінор) відмінний від нуля. Решта називаються неосновними або вільними.
Рішення системи, в якому все неосновних змінних дорівнюють нулю, називаються базисним.
Оскільки кожному розбиття змінних на основні і неосновні відповідає одне базисне рішення, а число способів розбиття не перевищує числа сполучень, то і базисних рішень є не більше. Таким чином, спільна система т лінійних рівнянь з п змінними (т Систему, еквівалентну даній, можна отримати, зокрема, замінивши одне з рівнянь на рівняння, помножене на будь-яке відмінне від нуля число. Еквівалентну систему можна отримати також, замінивши одне з рівнянь сумою цього рівняння з іншим рівнянням системи. Загалом, заміна рівняння системи на лінійну комбінацію рівнянь дає систему, еквівалентну вихідної. Спираючись на ці властивості, вихідну систему рівнянь можна перетворити до вигляду: Тут невідомі. називаються базисними змінними. інші невідомі - вільними змінними. Самі рівності, виражають базисні змінні через вільні, називаються спільним рішенням системи. Рішення системи, що виходить при завданні конкретних значень вільних змінних, називається приватним рішенням системи. Може трапитися так, що всі невідомі виявляться базисними змінними, тоді система рівнянь матиме єдине рішення: При рішення системи трьох рівнянь має наочний геометричний сенс. Кожне з трьох цих рівнянь визначає площину. Геометричне місце точок перетину площин є вирішенням цих рівнянь. Якщо існує тільки одна точка перетину площин, то система є певною, вона має єдине рішення. Якщо всі три площини перетинаються вздовж прямої, то система має безліч рішень, вона є невизначеною. Якщо дві (або всі три) площині паралельні, то система не має жодного рішення, вона є несумісною.
Рис.1 Система трьох лінійних рівнянь від трьох змінних визначає набір площин. Точка перетину площин є вирішенням цих рівнянь.
Приклад. Методом Гаусса вирішити систему лінійних рівнянь:
Рішення. Дотримуючись Гауса, будемо впроваджувати зміни не самих рівнянь, а вільних членів і коефіцієнтів системи:
Перший рядок помножимо на і результат складання отриманого рядка з другим рядком помістимо на місце другого рядка. Перший рядок помножимо на і результат складання отриманого рядка з третім рядком помістимо на місце третього рядка. отримаємо:
Другий рядок, помножену на 2, складемо з третім рядком, помноженої на 5. Результат складання помістимо на місце третього рядка. отримаємо:
Третій рядок поділимо на і результат ділення залишимо на цьому ж місці. Потім третій рядок, помножену на. складемо з другим рядком і результат складання помістимо на місце другого рядка. Після цього третій рядок, помножену на. складемо з першим рядком і результат складання помістимо на місце першого рядка. отримаємо:
Другий рядок поділимо на і результат ділення залишимо на цьому ж місці. Потім другий рядок, помножену на. складемо з першим рядком і результат складання помістимо на місце першого рядка. Отримаємо нову сукупність вільних членів і коефіцієнтів системи:
відповідну такою системою рівнянь:
Звідси слідує що
Перевірка. Знайдені значення підставимо в ліву частину вихідної системи рівнянь:
Отримані значення порівняємо зі значеннями в правих частинах вихідної системи рівнянь. Збіг вказує на правильність отриманого рішення.
Відповідь. Система лінійних рівнянь
Приклад. Методом Гаусса вирішити систему трьох рівнянь з чотирма невідомими:
Рішення. Дотримуючись Гауса, будемо впроваджувати зміни не самих рівнянь, а вільних членів і коефіцієнтів системи:
Перший рядок помножимо на. потім результат складання отриманого рядка з другим рядком помістимо на місце другого рядка. Перший рядок помножимо на і результат складання отриманого рядка з третім рядком помістимо на місце третього рядка. отримаємо:
Дві останні рядки виявилися однаковими. Це означає, що за допомогою елементарних перетворень вихідну систему рівнянь вдалося перетворити до вигляду:
в якому третє і друге рівняння однакові. Отже, має сенс проводити перетворення вільних членів і коефіцієнтів першого і другого рівнянь:
Другий рядок помножимо на. потім результат складання отриманого рядка з першим рядком помістимо на місце першого рядка. отримаємо:
що відповідає системі наступних рівнянь:
Звідси випливає, що є базисними змінними. Уявімо їх через:
Решта невідомі є вільними змінними. Таким чином, система вихідних рівнянь має безліч рішень:
де і можуть приймати будь-які значення з інтервалу.
Перевірка. Знайдені значення підставимо в ліву частину вихідної системи рівнянь:
Отримані значення порівняємо зі значеннями в правих частинах вихідної системи рівнянь. Збіг вказує на правильність отриманого рішення.
Відповідь. Система лінійних рівнянь
має безліч рішень:
де і можуть приймати будь-які значення з інтервалу.
Приклад. Методом Гаусса вирішити систему чотирьох рівнянь з п'ятьма невідомими:
Рішення. Дотримуючись Гауса, будемо впроваджувати зміни не самих рівнянь, а вільних членів і коефіцієнтів системи:
Перший рядок складемо з другим рядком, результат складання помістимо на місце другого рядка. Перший рядок помножимо на і результат складання отриманого рядка з третім рядком помістимо на місце третього рядка. отримаємо:
Результат складання третього рядка з четвертої рядком помістимо на місце четвертого рядка. отримаємо:
Звернемо увагу на четвертий рядок, значення в якій дозволяють уявити останнє рівняння системи у вигляді:
Зауважимо, що це рівність не виконується ні при яких значеннях змінних, оскільки Отже, система вихідних рівнянь не має рішень.
Відповідь. Система лінійних рівнянь
не має рішень.