Кут між двома площинами

Нехай дано площині α1 і α2 своїми загальними рівняннями. Тоді під кутом φ між площинами α1 і α2 розуміють найменший кут, на який треба повернути одну з площин до її збігу з іншого площиною. Тому

. Очевидно, що або φ = (^,), Або φ = (-^,), Деі- нормальні вектори площин α1 і α2 відповідно. В будь-якому випадку

Зокрема, якщо φ = π / 2, то

- умова перпендикулярності двох площин.

Пряма в просторі. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі Рівняння прямої в просторі

Очевидно, що пряму в просторі можна задати як лінію перетину двох площин α1 і α2. Тоді в довільній афинной системі координат пряма задається системою двох лінійних рівнянь

- загальне рівняння прямої або рівняння прямої в загальному вигляді.

Нехай l - пряма. Тоді її положення в просторі однозначно визначається завданням її направляючого вектора

= (M, n, р) і точкою М0 (х0, у0, z0), через яку пряма проходить. Візьмемо довільну точку М (х, у, z)l. тоді і, отже,

Переходячи до координат, отримаємо

X - x0 = tm, y - y0 = tn, z - z0 = tp

-параметричні рівняння прямої.

Висловлюючи параметр t. отримаємо

- канонічне рівняння прямої, що проходить через точку

М0 (х0y0, z0) паралельно вектору

= (M, n, р).

Останнє рівняння рівносильне

- рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Навпаки, нехай задано загальне рівняння прямої.

Взявши довільну точку М0 (х0, у0, z0) прямий отримуємо

- канонічне рівняння прямої.

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Нехай прямі l1 і l2 задані канонічними рівняннями

позначимо

== (Х2 -x1, y2-У1, z2 -z1), = (M1, n1, р),

1) якщо прямі збігаються, то всі три вектора

,,колінеарні.

2) якщо прямі паралельні і не збігаються, то вектора

і колінеарні, а векторїм не коллінеарен.

3) якщо пряжі перетинаються, то ніякі два з векторів

, ,НЕ колінеарні, і всі три вектора компланарність.

4) ecли прямі схрещуються, то вектори

,,некомпланарних.

Відзначимо, що умови паралельності і перпендикулярності, прямих l1 і l2 рівносильні умовам коллинеарности і ортогональности їх направляють векторів

і .

- необхідна і достатня умова паралельності двох прямих.

- необхідна і достатня умова перпендикулярності двох прямих.

Якщо прямі l1 і l2 перетинаються, то величина кута φ між ними одно або (

^,) Або (-^,). отже,

Відстань від точки до прямої в просторі

Расстояніеd від точки M1 (x1, у1, z1) до даної прямої

, що проходить через точкуM0 (х0, у0, z0) з тих, що направляють вектором = (M, n, p) визначається так.

Рівняння площини, що проходить через дві задані прямі

Нехай площину α проходять через прямі l1 і l2. задані відповідно рівняннями:

Позначимо М2 (x2, y2, z2),

= (M1, n1, р1), = (M2, n2, p2) і М (х, у, z) довільна точка площини α

-рівняння площини, що проходить через дві прямі.

Відстань між перехресними прямими

Нехай прямі l1 і l2. задані рівняннями виду (2), є перехресними. Тоді відстанню d між ними називається довжина перпендикуляра, проведеного з одне прямої на іншу. Зауважимо, що шукане відстань дорівнює відрізку перпендикуляра, закачаного між площинами α1 і α2. де площині α1 і α2 одночасно паралельні векторам

і, і проходять відповідно через прямиеl1 і l2

Взаємне розміщення прямої і площини

Нехай пряма l і площина α задані відповідно рівняннями

, α: Ax + By + Cz + D = 0.

1) прямаяl лежить в площині α, якщо

2) пряма l паралельна площині α, якщо

Схожі статті

• Сліди площини - рішення задач, контрольних

• База відпочинку ведмежий кут, озеро Увільди

• Сочі, ведмежий кут відгуки та фото