Функціональний ряд виду
або, більш стисло, ряд виду
називається тригонометричним рядом. Постійні числа називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.
Якщо ряд (1) сходиться, то його сума є періодична функція з періодом так як і є періодичними функціями з періодом
Поставимо наступне завдання.
Дана функція періодична з періодом За яких умов для f (x) можна знайти тригонометричний ряд, що сходиться до даної функції?
Це завдання і буде вирішуватися в цій главі. Визначення коефіцієнтів ряду за формулами Фур'є. Нехай періодична з періодом функція f (x) така, що вона представляється тригонометричним рядом, що сходиться до даної функції в інтервалі, т. Е. Є сумою цього ряду:
Припустимо, що інтеграл від функції, що стоїть в лівій частині цієї рівності, дорівнює сумі інтегралів від членів ряду (2). Це, наприклад, буде виконуватися, якщо припустити,
що числовий ряд, складений з коефіцієнтів даного тригонометричного ряду, абсолютно сходиться, т. е. сходиться позитивний числовий ряд
Тоді ряд (1) мажоріруем? і, отже, його можна почленно інтегрувати в проміжку від до. Використовуємо це для обчислення коефіцієнта
Проинтегрируем обидві частини рівності (2) в межах від до:
Обчислимо окремо кожен інтеграл, що зустрічається в йрйвой частини:
Для обчислення інших коефіцієнтів ряду нам будуть потрібні деякі певні інтеграли, які ми і розглянули попередньо.
Якщо - цілі числа, то мають місце такі рівності; якщо то
Обчислимо, наприклад, перший інтеграл з групи (I). Так як
Подібним чином можна отримати і інші формули (I). Інтеграли групи (II) обчислюються безпосередньо (див. Гл. X т. I). Тепер ми можемо обчислити коефіцієнти ряду (2). Для розвідки коефіцієнта при якомусь певному значенні помножимо обидві частини рівності (2) на:
Ряд, що вийшов в правій частині рівності, мажоріруем, так як його члени не перевищують по абсолютній величині членів сходиться позитивного ряду (3). Тому його можна почленно інтегрувати на будь-якому відрізку.
Проинтегрируем рівність (2) в межах від до:
Беручи до уваги формули (II) і (I), бачимо, що все інтеграли в правій частині дорівнюють нулю, «ромі інтеграла з коефіцієнтом
Помноживши обидві частини рівності (2) на знову інтегруючи від до, знайдемо
Коефіцієнти, визначені за формулами називаються коефіцієнтами Фур'є функції а тригонометричний ряд (1) з такими коефіцієнтами називається поруч Фур'є функції f (x).
Повернемося тепер до питання, поставленого нами на початку параграфа: якими властивостями повинна володіти функція, щоб побудований для неї ряд Фур'є сходився і щоб сума побудованого ряду Фур'є дорівнювала значенням даної функції у відповідних точках?
Ми сформулюємо тут теорему, яка дасть достатні умови представимости функції f (x) поруч Фур'є.
Визначення. Функція f (x) називається кусочно монотонної на відрізку якщо цей відрізок можна розбити кінцевим числом точок на інтервали так, що на кожному з інтервалів функція монотонна, т. Е. Або незростаюча, або неубутна.
З визначення випливає, що якщо функція f (x) кусочно монотонна і обмежена на відрізку, то вона може мати тільки точки розриву першого роду. Дійсно, якщо є точка розриву функції, то в силу монотонності функції існують межі
т. e. точка з є точка розриву першого роду (рис. 374).
Сформулюємо тепер наступну теорему.
Теорема. Якщо періодична функція f (x) з періодом кусочно монотонна і обмежена на відрізку, то ряд Фур'є, побудований для цієї функції, сходиться в усіх точках. Сума отриманого ряду дорівнює значенню функції f (x) в точках безперервності функції. У точках розриву функції f (x) сума ряду дорівнює середньому арифметичному меж функції f (x) праворуч і ліворуч, т. Е. Якщо з точка розриву функції f (x), то
З цієї теореми випливає, що клас функцій, які представлені рядами Фур'є, досить широкий. Тому ряди Фур'є знайшли широке застосування в різних відділах математики. Особливо успішно ряди Фур'є застосовуються в математичній фізиці і її додатках до конкретних завдань механіки і фізики (див. Гл. XVIII).
Дану теорему ми наводимо без доведення. У § 8-10 буде дано доказ іншого достатнього ознаки разложимости функції в ряд Фур'є, який відноситься до певному сенсі до більш вузького класу функцій.