Нехай дана деяка послідовність функцій Областю визначення цієї послідовності називається безліч З цієї послідовності можна побудувати ряд. Цей ряд називається функціональним рядом. Його областю визначення називають безліч (тобто область визначення функціональної послідовності по якій він будується). Дамо поняття поточечной збіжності цього ряду.
Визначення 2. Кажуть, що ряд сходиться в точці до суми якщо існує кінцева межа його частковим сум:
Звертаємо увагу на те, що тут номер залежить не тільки від але і від точки. в якій розглядається збіжність ряду. Якщо ж цей номер не залежить від то зазначений ряд буде сходитися до суми рівномірно на безлічі Дамо суворе визначення такий збіжності.
Визначення 3. Кажуть, що ряд сходиться до суми рівномірно на множині. якщо
Тут перекреслене означає, що номер залежить тільки від і не залежить від точок (номер обслуговує всі одночасно!).
Відзначимо наступні очевидні властивості рівномірно збіжних рядів.
3. Якщо ряд сходиться рівномірно до суми на множині. то він сходиться рівномірно і на будь-якому підмножині
4. Якщо ряди і сходяться рівномірно на безлічі (до сум відповідно), то ряд також рівномірно сходиться на безлічі (до суми).
5 (критерій Коші рівномірної збіжності ряду). Для того щоб ряд сходиться рівномірно на множині. необхідно і достатньо, щоб
Введемо ще деякі поняття. Безліч всіх точок в яких ряд сходиться, називається безліччю його поточечной збіжності, а безліч всіх точок в яких сходиться модульний ряд називається безліччю його абсолютної збіжності. Ясно, що безліч буде безліччю умовної збіжності ряду.
Зазвичай спочатку досліджують поточечной збіжність, для чого складають модульний ряд і застосовують до нього сформульовані раніше ознаки збіжності для знакоположітельних числових рядів (ознаки порівняння, Даламбера, Коші і інтегральний ознака), фіксуючи при цьому подумки аргумент Потім знаходять область умовної збіжності (тут зазвичай застосовується ознака Лейбніца) і, нарешті, область рівномірної збіжності функціонального ряду. При цьому використовують наступне твердження.
Критерій Вейерштрасса (рівномірної збіжності ряду). Нехай для функціонального ряду знайдеться числовий ряд володіє властивостями:
а) б) ряд сходиться.
Тоді ряд сходиться рівномірно на безлічі
(Числовий ряд володіє властивостями а) і б) називається мажорірующім поруч для ряду).
Доказ випливає з нерівності
Дійсно, для числового ряду справедливий ознака Коші збіжності, значить,
(Не залежить від так як ряд числовий):
Але тоді з (4) випливає висловлювання
тобто для функціонального ряду справедливий критерій 5 рівномірної збіжності. Отже, цей ряд сходиться рівномірно на безлічі Теорема доведена.
Наприклад, застосовуючи критерій Вейерштрасса до ряду матимемо
Так як то ряд сходиться, а значить, вихідний ряд сходиться рівномірно на всій осі Розглянемо ще один приклад.