Фокус (в математиці)
Конічні перетину: окружність. еліпс. парабола (площину перетину паралельна утворює конуса), гіпербола.
Конічний перетин або коника є перетин площини з круговим конусом. Існує три основних типи конічних перетинів: еліпс. парабола і гіпербола. крім того існують вироджені перетину: точка. пряма і пара прямих. Окружність можна розглядати як окремий випадок еліпса.
Конічні перетину можуть бути отримані як перетин площині з двостороннім конусом
θ - кут між твірною конуса і його віссю.
Якщо площина проходить через початок координат. то виходить вироджений розтин. У невиродженому випадку,
- якщо січна площина перетинає всі твірні конуса в точках одного його порожнини, отримуємо еліпс,
- якщо січна площина паралельна одній з дотичних площин конуса, отримуємо параболу і
- якщо січна площина перетинає обидві порожнини конуса, отримуємо гіперболу.
Рівняння кругового конуса квадратично, стало бути все конічні перетину є квадрік. також всі квадрік площині є конічними перетинами (хоча дві паралельні прямі утворюють вироджену квадрік яка не може бути отримана як перетин конуса, але все ж зазвичай вважається «виродженим конічним перетином»).
ексцентриситет
Еліпс (e = 1/2). парабола (e = 1) і гіпербола (e = 2) з фіксованими фокусом F і директоркою.
Все невироджені конічні перетину, крім кола. можна описати в такий спосіб:
Виберемо на площині точку F і пряму d і задамо дійсне число e> 0. Тоді геометричне місце точок. для яких відстань до точки F і до прямої d відрізняється в e раз, є конічним перетином. Точка F називається фокусом конічного перетину, пряма d - директоркою. число e - ексцентриситетом.
Залежно від ексцентриситету, вийде:
Для кола вважають e = 0 (хоча формально при e = 0. ГМТ виходить тільки точка F).
- Через будь-які п'ять точок на площині, ніякі три з яких не лежать на одній прямій, можна провести єдине конічний перетин.
Групи перетворень
- Ексцентриситет двох невироджених конічних перетинів збігається тоді і тільки тоді, коли вони можуть бути переведені один в одного перетворенням подібності.
- Афінний перетворення зберігають тільки знак ексцентриситету, тобто з точки зору афінної геометрії існує тільки три різних невироджених конічних перетину: еліпс, парабола і гіпербола.
- Все невироджені конічні перетину невиразні в проективної геометрії.
координатне уявлення
декартові координати
визначає тип конічного перетину.
- Якщо дискримінант менше нуля, то це еліпс. точка або порожня множина.
- Якщо дискримінант дорівнює нулю, то це парабола. пряма або пара паралельних прямих.
- Якщо дискримінант більше нуля, то це гіпербола або пара пересічних прямих
полярні координати
У полярних координатах (ρ, θ). з центром в одному з фокусів нульовим напрямком уздовж головної осі, конічний перетин представляється рівнянням
де е позначає ексцентриситет і l постійна.
Конічні перетину були відомі ще математикам Древньої Греції. Найбільш повним твором, присвяченим цим кривим, були «Конічні перетини» Аполонія Пергського (близько 200 до н. Е.).
В рамках класичної механіки траєкторія вільного руху сферичних об'єктів в безповітряному просторі підпорядковується одному з додатків закону зворотних квадратів - закону всесвітнього тяжіння. і внаслідок цього є однією з конічних кривих - параболою, гіперболою, еліпсом або прямий. Орбіти планет - еліпси, траєкторії комет - гіперболи (див. Також Небесна механіка), траєкторія польоту гарматного ядра, за вирахуванням впливу повітря - парабола (див. Також Балістика).
література
Дивитися що таке "Фокус (в математиці)" в інших словниках:
Фокус (в математиці) - Фокус в математиці, 1) Ф. кривої другого порядку (еліпса, гіперболи, параболи) √ точка F, що лежить в площині цієї кривої і володіє тим властивістю, що ставлення відстані будь-якої точки кривої до F до відстані до директриси є величина ... ... Велика радянська енциклопедія
ФОКУС - (лат. Focus вогнище, місце, де розводиться вогонь). 1) точка на осі оптичних стекол, в якій перетинаються всі промені, які падають на ці скла. 2) в математиці: дві точки Еліпс, що знаходяться на великій осі. 3) яке-небудь явище, засноване на ... ... Словник іншомовних слів російської мови
фокус - 1) В оптиці: точка, в якій збирається минулий через оптичну систему паралельний пучок світлових променів; 2) точка, в якій зображена за допомогою оптичного приладу предмет має найкращу чіткість; 3) мед. вогнище ... ... Історико-етимологічний словник латинських запозичень
Фокус - I Фокус (від нім. Hokuspokus) 1) ряд дій (з різними предметами, людьми); трюк, заснований на обмані зору за допомогою швидких, спритних прийомів, підсобних засобів і т.п. 2) У переносному значенні - хитромудрий прийом, прийом, хитрощі ... Велика радянська енциклопедія
Фокус - I м. 1. Точка перетину переломлених або відбитих променів, що падають на оптичну систему паралельним пучком. Отт. Відстань від заломлюючої або відбиває системи до цієї точки. 2. Точка, в якій зображена об'єкт отримує виразне ... ... Сучасний тлумачний словник російської мови Єфремової
Фокус - I м. 1. Точка перетину переломлених або відбитих променів, що падають на оптичну систему паралельним пучком. Отт. Відстань від заломлюючої або відбиває системи до цієї точки. 2. Точка, в якій зображена об'єкт отримує виразне ... ... Сучасний тлумачний словник російської мови Єфремової
Фокус - I м. 1. Точка перетину переломлених або відбитих променів, що падають на оптичну систему паралельним пучком. Отт. Відстань від заломлюючої або відбиває системи до цієї точки. 2. Точка, в якій зображена об'єкт отримує виразне ... ... Сучасний тлумачний словник російської мови Єфремової
Фокус - I м. 1. Точка перетину переломлених або відбитих променів, що падають на оптичну систему паралельним пучком. Отт. Відстань від заломлюючої або відбиває системи до цієї точки. 2. Точка, в якій зображена об'єкт отримує виразне ... ... Сучасний тлумачний словник російської мови Єфремової
Фокус - I м. 1. Точка перетину переломлених або відбитих променів, що падають на оптичну систему паралельним пучком. Отт. Відстань від заломлюючої або відбиває системи до цієї точки. 2. Точка, в якій зображена об'єкт отримує виразне ... ... Сучасний тлумачний словник російської мови Єфремової