1.1. прості відсотки
В основі будь-якої кредитної операції, т. Е. Передачі грошей в борг позичальнику від кредитора, лежить прагнення отримати дохід. Абсолютна величина доходу, отримуваного кредитором за передачу грошей в борг, називається процентними грошима або відсотками. Походження цієї назви пов'язане з тим, що величина плати за кредит визначається зазвичай як відповідний відсоток (в математичному сенсі) від суми кредиту.
Плата за кредит може стягуватися як в кінці терміну кредиту, так і в його початку (авансовий процентний дохід). У першому випадку відсотки нараховуються в кінці терміну виходячи з величини наданої суми, і поверненню підлягає сума боргу разом з відсотками. Такий спосіб нарахування відсотків називається декурсівних. У другому випадку процентний дохід оприбутковується авансом (виплачується на початку терміну), при цьому боржникові видається сума, зменшена на його величину, а повернення в кінці терміну підлягає лише вихідна позика. Процентний дохід, який сплачується таким чином, називається дисконтом (т. Е. Знижкою з суми позики), а спосіб нарахування відсотків - антисипативному.
У світовій практиці декурсівних спосіб нарахування відсотків отримав більшого поширення, тому термін "декурсівних" зазвичай опускають, кажучи просто про відсоток або про позиковому відсотку. При використанні ж антисипативному відсотків використовують повне найменування.
Види процентних ставок
Розглянемо спочатку декурсівних спосіб, коли відсотки нараховуються в кінці терміну кредиту. З кількісного боку кредитна операція характеризується такими основними співвідношенням:
де Р - початкова сума (сума кредиту); I - відсотковий дохід - сума плати за кредит; S - сума, що підлягає поверненню (повна вартість кредиту).
Сума плати за кредит I зазвичай визначається у вигляді відсотка від суми самого кредиту - iT. Це відношення називається ставкою відсотків, точніше, ставкою відсотків за період Т:
Часовий період, в кінці якого оприбутковується процентний дохід, називають ще періодом нарахування відсотків (часто зустрічається термін "період конверсії"). Відсоткова ставка відноситься до всього періоду дії кредитної угоди.
Оскільки терміни кредитів змінюються в широкому діапазоні (від декількох днів до десятків років), то для порівняння умов різних кредитів процентну ставку задають по відношенню до деякого базового періоду. Найбільш поширений річний базовий період - в цьому випадку говорять про річну відсоткову ставку. Якщо період конверсії збігається з базовим, то річна відсоткова ставка збігається з фактичною (1.1.2). Якщо ж термін угоди має іншу тривалість, то річна відсоткова ставка, що служить основою для визначення відсоткової ставки за період (фактичної процентної ставки), називається номінальною. Процентна ставка за період обчислюється за формулою
де i - номінальна річна процентна ставка; Т - термін дії угоди, після закінчення якого кредит повинен бути повернений разом з відсотками.
Якщо період конверсії укладається ціле число раз на рік, то ставка за період обчислюється за формулою
де Т = 1 / m; m - число періодів нарахування відсотків на рік, або частота нарахування відсотків.
Закон нарощення за простою процентною ставкою. дисконтування; майбутня і поточна вартість грошей
Процентний дохід за законом простих відсотків обчислюється виходячи з того, що номінальна процентна ставка не залежить від періоду нарахування відсотків:
Суму S також називають накопиченим (розширеним) значенням вихідної суми Р. Використовуючи формули 1.1.1, 1.1.6, отримаємо:
де s (T) = l + iT - множник (коефіцієнт) нарощення, або акумулює множник за період Т.
Знаючи інвестовану суму Р і процентну ставку i, легко обчислити по формулі (1.1.7) значення S для довільного терміну кредитної угоди. Множник нарощення не залежить від величини початкової суми і показує, у скільки разів зріс первісний капітал. Саме він характеризує прибутковість кредитної операції, дозволяючи визначити, на що перетвориться одинична сума до кінця терміну (або через будь-який проміжок часу Т). У фінансовій математиці прийнято розраховувати результати фінансових операцій для одиничних сум, множачи потім результат на первісну величину і отримуючи значення нарощеної суми.
При опрацюванні різного роду фінансових операцій нерідко доводиться вирішувати зворотну задачу: відомо, яка сума в майбутньому потрібна для отримання певного результату, шуканої величиною є поточне її значення. Іншими словами, завдання ставиться так: яку суму необхідно інвестувати сьогодні, щоб через певний інтервал часу отримати задане значення? У даній ситуації поточна вартість грошової суми є проекцією її заданого майбутнього значення. Таке проектування суми з майбутнього в даний називають дисконтуванням. Назва терміна походить від слова "дисконт" - знижка з ціни боргового зобов'язання при авансованої виплаті відсотків за користування кредитом. Дисконтування і нарощення - взаємно зворотні процеси. Формула дисконтування за простою відсоткової ставки виглядає наступним чином:
В англомовній літературі для позначення нарощеної суми традиційно використовується буквосполучення FV (від FutureValueofMoney - майбутня вартість грошей); для позначення поточної вартості - PV (отPresentValueofMoney - справжня вартість грошей).
Терміни "нарощення" і "дисконтування" вживаються і в більш широкому сенсі, як засобу визначення будь-вартісної величини на деякий довільний момент часу незалежно від конкретного виду фінансової операції, яка передбачає нарахування відсотків. Такий розрахунок називають приведенням вартісного показника до заданого моменту часу. Нарощена, або майбутня, вартість грошової суми означає проекцію заданої зараз суми на певний інтервал часу вперед, в майбутнє. Дисконтування - проекцію суми, заданої в певний момент часу в майбутньому, на певний інтервал часу назад, в даний.
Приведення суми до певного моменту часу складається в її збільшенні на множник приведення, який дорівнює або множнику нарощення при приведенні до майбутнього моменту часу, або дисконтного множника при приведенні до попереднього (справжньому) моменту часу. Зручно поєднати початок шкали часу з моментом часу, коли задана сума. Тоді нарощенню відповідає позитивна частина осі часу, а дисконтированию - негативна. В цьому випадку множник приведення r (t) можна записати у вигляді
де s (t) = s (T) - множник нарощення; v (# 1472; t # 1472;) = V т - дисконтний множник; Т = # 1472; t # 1472; - величина періоду обчислення (значення тимчасового інтервалу на числової осі, узяте по модулю).
Залежність цього множника від часу, тобто від величини періоду нарахування відсотків Т = # 1472; t # 1472 ;. визначається формулою (1.1.9), наведена на рис. 1.1.1 для ставки 30% річних.
