Теорема існування. якщо:
1) функція звертається в нуль в деякій точці;
2) і визначені і неперервні в околі точки;
то в деякій досить малій околиці точки існує єдина однозначна безперервна функція
Приватні похідні функцій, заданих неявно. Якщо виконані всі умови наведеної вище теореми і, крім того, функція диференційована в околі точки. то функція диференційована в околі точки і її похідні і можуть бути знайдені з рівнянь
Якщо функція диференційована достатню кількість разів, то послідовним диференціюванням цих рівнянь обчислюються похідні вищих порядків від функції.
Диференціювання неявних функцій, заданих системою рівнянь. Нехай функції задовольняють таким умовам:
1) звертаються в нуль в точці;
2) мають похідні в околиці точки;
3) функціональний визначник (якобіан) в точці.
Тоді система рівнянь
однозначно визначає в деякій околиці точки систему диференціюються
задовольняють системі рівнянь і початкових умов
Диференціали цих неявних функцій можуть бути знайдені з системи
Приклад 6.1. Знайти в точці (1; 1) приватні похідні функції. заданої неявно рівнянням
Рішення. З рівняння знайдемо значення функції в даній точці:
. Функція дорівнює нулю в точці (1; 1; 2) і неперервна в її околиці, а її приватні похідні
Тому функція є безперервно диференціюється в околиці точки (1; 1; 2) і її приватні похідні можна знайти за формулами:
а значення в точці (1; 1; 2):
Приклад 6.2. Знайти похідні першого і другого порядків неявних функцій в точці. якщо ці функції задані системою рівнянь
і задовольняють умовам.
діфференцируєми в околиці точки. Приватні похідні
безперервні в точці. Так як і. а якобіан в точці різниться від нуля, т. е.
то система рівнянь (1) визначає єдину пару функцій. двічі диференційовних в околиці точки.
Продифференцируем систему (1) по змінній:
Підставивши координати точки в цю систему, отримаємо
Тоді. Ще раз продифференцируем по систему (2):
У точці маємо
6.1. Рівняння визначає як багатозначну функцію від. У яких областях ця функція: 1) однозначна, 2) двозначна, 3) тризначні, 4) чотиризначний? Визначити точки розгалуження цієї функції і її однозначні гілки.
Знайти і для функцій, визначених наступними рівняннями: