Розглянуто спосіб вирішення диференціальних рівнянь, що приводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними. Дан приклад докладного рішення диференціального рівняння, що приводиться до рівняння із перемінними.
Розглянемо диференціальне рівняння
(I),
де f - функція, a, b, c - постійні, b ≠ 0.
Це рівняння приводиться до рівняння із перемінними.
метод рішення
Робимо підстановку:
u = ax + by + c
Тут y - функція від змінної x. Тому u - теж функція від змінної x.
Диференціюючи по x
u '= (ax + by + c)' = a + by '
Підставляємо (i)
u '= a + by' = a + b f (ax + by + c) = a + b f (u)
або:
(Ii)
Поділяємо змінні. Множимо на dx і ділимо на a + b f (u). Якщо a + b f (u) ≠ 0. то
Інтегруючи, ми отримуємо загальний інтеграл вихідного рівняння (i) в квадратурі:
(Iii).
Наприкінці розглянемо випадок
(Iv) a + b f (u) = 0.
Припустимо, що це рівняння має n коренів u = ri. a + b f (ri) = 0. i = 1, 2. n. Оскільки функція u = ri є постійною, то її похідна по x дорівнює нулю. Тому u = ri є рішенням рівняння (ii).
Однак, рівняння (ii) не збігається з вихідним рівнянням (i) і, можливо, не всі рішення u = ri. виражені через змінні x і y. задовольняють вихідному рівнянню (i).
Таким чином, рішенням вихідного рівняння є загальний інтеграл (iii) і деякі корені рівняння (iv).
Приклад рішення диференціального рівняння, що приводиться до рівняння із перемінними
Вирішити рівняння
Робимо підстановку:
u = x - y
Диференціюючи по x і виконуємо перетворення:
;
Множимо на dx і ділимо на u 2.
Якщо u ≠ 0. то отримуємо:
Тепер розглянемо випадок u = 0. або u = x - y = 0. або
y = x.
Оскільки y '= (x)' = 1. то y = x є рішенням вихідного рівняння (1).