Чим займається топологія. Найпростіші топологічні інваріанти
Відображення f: A -> B називається взаємно однозначним, якщо в кожну точку безлічі B відображається точно одна точка множини A. Це означає, що, по-перше, ніякі дві різні точки безлічі A не переходять в одну і ту ж точку безлічі B ( не «склеюються" при відображенні f) і, по-друге, кожна точка множини B поставлена у відповідність деякій точці безлічі A (тобто A відображається на все безліч B, а не на його частину).
Для взаємно однозначного відображення f: A -> B можна визначити зворотне відображення f -1. B -> A (яке кожній точці y, що належить B, ставить у відповідність точку безлічі A, що переходила в y при відображенні f).
Відображення f: A -> B називається гомоморфним відображенням (або гомоморфизмом), якщо воно, по-перше, взаємно однозначно і, по-друге, взаємно безперервно, тобто не тільки саме відображення f безперервно, але і зворотне відображення f -1 також безперервно.
Наочно гомоморфізм можна уявляти собі як таке відображення одного безлічі на інше, яке відбувається і без розривів, і без склеювання. Наприклад, будемо вважати, що фігури A, B "виготовлені" з дуже міцного і еластичного матеріалу, і будемо приймати будь-які розтягування і викривлення цього матеріалу без розривів і без утворення складок і склеювань; якщо ми зможемо за цих умов "накласти" фігуру A на B, то вони гомоморфності. Так, контур трикутника (або, взагалі, будь-якого багатокутника) гомоморфен окружності.
Приклад 1. Поверхня кулі, поверхня куба, циліндра - все гомоморфності між собою. Однак ці поверхні не гомоморфності тору (який можна наочно уявити собі як поверхня бублика або автомобільної камери. Поверхня гирі гомоморфна тору.
Приклад 2. Будемо уявляти собі літери російського алфавіту у вигляді ліній. Букви Г, Л, М, П, С гомоморфності між собою. Букви Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Е також гомоморфності між собою, але не гомоморфності зазначеним раніше буквах. Буква О не гомоморфна ніякий інший букві російського алфавіту.
Приклад 3. Нехай A - півколо з центром O, з якої виключені кінцеві точки m і n, а B - дотична півкола, паралельна діаметру mn (рис. 31.1). Центральне проектування p: A -> B з центру O є гомоморфності відображення. Таким чином, пряма гомоморфна півкола без кінцевих точок.
У свою чергу півколо гомоморфна відрізку (її можна розпрямити). Отже, пряма гомоморфна відкритого відрізку (тобто відрізку, з якого викинуті кінцеві точки).
Непогано було б порівняти поняття гомоморфізму і поняття конгруентності фігур. В геометрії розглядаються відображення, що зберігають відстані між точками. Вони називаються рухами (або переміщеннями). В результаті руху кожна фігура перекладається на нове місце як тверде ціле, без зміни відстаней. Дві фігури, які переводяться одна в іншу ( "поєднуються") за допомогою руху, називаються конгруентними і розглядаються як однакові, як що не відрізняються (з геометричної точки зору) один від одного. У топології розглядаються відображення, більш загальні, ніж руху, а саме гомоморфні відображення. Дві гомоморфні між собою фігури розглядаються (з топологічної точки зору) як однакові, що не відрізняються один від одного. Ті властивості фігур, які не змінюються при гомоморфності відображеннях, називаються топологічними властивостями фігур, або тінваріантамі (від латинського слова invariant - незмінний). Вивченням топологічних властивостей фігур і займається топологія.
Найпростіші топологічні інваріанти
Вище, розглядаючи приклад 1, ми говорили, що поверхня кулі (сфера) НЕ гомоморфна тору, і навряд чи у читача виник сумнів в цьому. Але як довести, що дві фігури не є гомоморфності? Адже з того, що ми не зуміли знайти гомоморфного відображення однієї фігури на іншу, не випливає ще з достовірністю, що такого гомоморфного відображення не існує.
Для доказу того, що дві фігури не гомоморфності один одному, користуються топологічними інваріантами. Нехай, наприклад, за допомогою деякого правила кожної фігурі ставиться у відповідність певне число, причому так, що числа, що відповідають двом гомоморфним фігурам, завжди виявляються рівними. Тоді це число виражає деяке властивість фігури, яка зберігається при гомоморфності відображеннях, тобто є топологічним інваріантом. Якщо тепер дві фігури A і B такі, що відповідні їм числа виявилися різними, то ці фігури не можуть бути гомоморфності.
Приклад 4. Буква И являє собою фігуру, що складається з двох «шматків», з двох не пов'язаних між собою частин. Решта літери російського алфавіту, крім Й, Е, складаються з одного зв'язкового шматка. Число зв'язкових «шматків», з яких складається фігура (кажуть також: число компонент фігури), є топологічним інваріантом; якщо дві фігури гомоморфності, то обидві вони складаються з однакового числа компонент. Тому буква И НЕ гомоморфна, наприклад, букві О, букві П, букві Ц і так далі.
Приклад 5. На фігурі вісімки є така точка x, що після видалення з вісімки точки x разом з прилеглими точками (рис. 31.2, ліворуч) ми отримуємо незв'язну фігуру (що містить більше однієї компоненти). Точку, що володіє цією властивістю, називають розбиває точкою фігури. Ніяка відмінна від x точка x * вісімки не є розбиває (рис. 31.2, праворуч).
Поняття «розбиває точка», «неразбівающая точка» топологічно інваріантні: якщо x є розбиває точка фігури A, а f: A -> B - гомоморфності відображення, то f (x) є розбиває точка фігури B. Тому число розбивають точок даної фігури є її топологічний інваріант, число неразбівающіх точок - також топологічний інваріант.
Приклад 6. Розглянемо сферу, в якій вирізане p круглих дірок, і заклеїмо кожну з дірок ручкою. Отримана поверхня (рис. 31.3, a) називається сферою з p ручками. Сфера з однією ручкою гомоморфна тору (рис. 31.3, b), а сфера з двома ручками - поверхні «кренделі» (що виходить склеюванням двох ручок, рис. 31.3, c).