Имхо, другий варіант правильний, але, згоден, що треба б переформулювати.
Наскільки я розумію, дроби (одна друга, третина, чверть і т.д.) поєднуються в російській мові з родовим, а не прийменниковим відмінком. Одна друга яблука, третина зарплати, чверть години. У розглянутій фразі "частка" - це уточнення, додаток до головного - до однієї другої. Власникам належить по одній другій. За однією другий чого. За однією другий частки. За однією другий частки чого. За однією другий частки квартири.
Перша фраза ще й звучить комічно так як її можна витлумачити і як "належить по одній (-єдиний) другий (а, чи не третій, чи не п'ятій, чи не десятої) частці".
Виявляється, не так: вислови на кшталт "одна друга" - це скорочення від "одна друга частина" або "одна друга частка". Хоча повна форма так рідко використовується, що запросто заплутаєшся (що ми тут успішно і спостерігаємо).
А ось конструкції на кшталт "одна третина" (якщо саме "третину", а не "третя") вже всередині себе цю частку (частина) містять, оскільки "третину" і є "третя частина" (або "третя частка").
половина ([одна] третину, [одна] чверть) квартири =
[Одна] друга (третя, четверта) частина квартири =
[Одна] друга (третя, четверта) частка квартири =
[Одна] друга (третя, четверта) квартири
Щодо "одна друга" = "одна друга частина" я згоден, а от щодо "одна друга" = "одна друга частка" - вже немає. Звідси і подальші розбіжності.
Досить, що з цим згодні "Великий академічний словник рус. Яз.", "Фразеологічний словник суч. Рус. Літер. Яз.", Словник Даля, "Морфологія суч. Рус. Літер. Яз.", "Граматика рус. Яз. підручник для пед. училищ "," Законодавство про нотаріат: збірник офіційних матеріалів "і т. п.