Безперервна функція - функція без «стрибків», тобто така, у якій малі зміни аргументу приводять до малих змін значення функції.
ε-δ визначення
x ∈ D. | x - x 0 | <δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | <ε. |<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_)|<\varepsilon .>
Функція f неперервна на множині E. якщо вона неперервна в кожній точці даного безлічі.
- Визначення безперервності фактично повторює визначення границі функції в даній точці. Іншими словами, функція f неперервна в точці x 0>. граничної для безлічі D. якщо f має межу в точці x 0>. і ця межа збігається зі значенням функції f (x 0))>.
- У порівнянні з визначенням границі функції за Коші в визначенні безперервності немає вимоги, що зобов'язує всі значення аргументу x задовольняти умові 0 <| x − a | . т.е. быть отличными от а.
- Функція неперервна в точці, якщо її коливання в даній точці дорівнює нулю.
Якщо умова, що входить у визначення безперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція терпить в даній точці розрив. Іншими словами, якщо A - значення функції f в точці a. то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з A. Мовою околиць умова розривності функції f в точці a виходить запереченням умови безперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує така околиця точки A області значень функції f. що як би ми близько не підходили до точки a області визначення функції f. завжди знайдуться такі точки, чиї образи будуть за межами околиці точки A.
Класифікація точок розриву в R¹
Якщо функція має розрив в даній точці (тобто межа функції в даній точці відсутній або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх меж:
- якщо обидва односторонніх межі існують і кінцеві, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точкам розриву першого роду відносять переборні розриви і скачки.
- якщо хоча б один з односторонніх меж не існує або не є кінцевою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точкам розриву другого роду відносять полюса і точки істотного розриву.
Переборна точка розриву
Якщо межа функції існує і кінцевий. але функція не визначена в цій точці, або межа не збігається зі значенням функції в даній точці:
Якщо «поправити» функцію f в точці усувного розриву і покласти f (a) = lim x → a f (x) f (x)>. то вийде функція, безперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервної або довизначенням функції по безперервності. що і обгрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.
Точка розриву «стрибок»
Розрив «стрибок» виникає, якщо
Точка розриву «полюс»
Розрив «полюс» виникає, якщо один з односторонніх меж нескінченний.
Точка істотного розриву
У точці істотного розриву один з односторонніх меж взагалі відсутня.
Класифікація ізольованих особливих точок в R n. n> 1
Для функцій f. R n → R n ^ \ to \ mathbb ^> і f. C → C \ to \ mathbb> немає потреби працювати з точками розриву, зате часто доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.
- Якщо ∃ lim x → a f (x) f (x)>. то це переборна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
- Полюс визначається як lim x → a f (x) = ∞ f (x) = \ infty>. В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що f (x) → ∞. яким шляхом б він не ріс. [Джерело не вказано 504 дня]
- Якщо межа взагалі не існує, це суттєва особлива точка.
Поняття «стрибок» відсутня. Те, що в R> вважається стрибком, в просторах більших розмірностей - істотна особлива точка.
Глобальні
- Функція, безперервна на відрізку (або будь-якому іншому компактному безлічі), рівномірно неперервна на ньому.
- Функція, безперервна на відрізку (або будь-якому іншому компактному безлічі), обмежена і досягає на ньому свої максимальне і мінімальне значення.
- Областю значень функції f. безперервної на відрізку [a. b]. є відрізок [min f. max f]. де мінімум і максимум беруться по відрізку [a. b].
- Якщо функція f неперервна на відрізку [a. b] і f (a) ⋅ f (b) <0. то существует точка ξ ∈ ( a. b ). в которой f ( ξ ) = 0 .
- Якщо функція f неперервна на відрізку [a. b] і число φ задовольняє нерівності f (a) <φ
φ> f (b). то існує точка ξ ∈ (a. b). в якій f (ξ) = φ. - Безперервне відображення відрізка в речову пряму ін'єкційних в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна.
- Монотонна функція на відрізку [a. b] неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями f (a) і f (b).
- Якщо функції f і g безупинні на відрізку [a. b]. причому f (a)
g (b). то існує точка ξ ∈ (a. b). в якій f (ξ) = g (ξ). Звідси, зокрема, випливає, що будь-який безперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.