«Без знання дробів ніхто не може визнаватися знають арифметику!»
Цицерон
Добре, коли на столі є ціле яблуко і можна з'їсти його одному. Але іноді доводиться ділити яблуко на частини, т.е.дробіть, щоб поділитися з ким-небудь. Так виходять дробу.
Пам'ятайте, як було в дитячому мультфільмі:
«Ми ділили апельсин,
Багато нас, а він один ... »(фрагмент мультфільму)
Нам стало цікаво, чи знали в давнину про дроби? Почавши вивчати історичні та наукові відомості з цього питання, ми зустрілися з поняттям «аліквотні дроби» і вирішили дізнатися про них докладніше.
Одним з питань анкети, який ми задали учням, було питання: «Що вам відомо про аліквотних дробах?». (Додаток 1). З 57 опитаних учнів тільки один зміг навести приклади таких дробів. І ми вирішили вивчити, коли вперше людство дізналося аліквотні дроби і які завдання можна решатьс допомогою аліквотних дробів, узагальнити матеріали дослідження і представити продукт своєї праці у вигляді буклету «Аліквотні дроби»
Сучасне життя робить завдання з використанням в рішенні аліквотних дробів актуальними, так як вони складають великий клас нестандартних завдань. Як показує практика, ці завдання є невід'ємною частиною при підготовці до олімпіад і підготовці завдань 19 ЕГЕ.А це підвищує успішність у навчанні, сприяє розвитку математичних здібностей, уваги, підвищенню пізнавального інтересу до математики.
Аліквотні дроби довгий час були єдиними дробом, з якими вмів оперувати людина, а правила дій з дробами розроблені «порівняно недавно». Сучасні математики продовжують досліджувати ряд завдань, пов'язаних з єгипетськими дробом і досягли великих успіхів в цьому напрямку.
Об'єкт дослідження: аліквотні дроби
Предмет дослідження: розкладання аліквотних дробів
Мета: вивчити застосування властивості аліквотних дробів в математиці і музиці.
підібрати і вивчити літературу з даної теми і матеріал в мережі Інтернет;
навчитися вирішувати завдання із застосуванням аліквотних дробів;
дослідити методи розв'язування олімпіадних завдань і завдань для підготовки до ЄДІ з допомогою аліквотних дробів;
випустити буклет «Аліквотні дроби».
Гіпотеза: Ми припускаємо, що аліквотні дроби мають значення і в сучасному житті.
пошуковий метод - використання наукової і навчальної літератури, а також пошук необхідної інформації в мережі Інтернет;
аналіз, порівняння та узагальнення отриманих в ході дослідження даних.
Узагальнений матеріал даного дослідження можна застосовувати як на уроках математики, так і в позаурочний час для підвищення інтересу до математики, а також при підготовці до олімпіад і ЄДІ. Рішення задач з застосуванням аліквотних дробів розвиває мислення і логіку.
2.1 Теоретична частина
З давніх часів людям доводилося не тільки рахувати предмети, для чого були потрібні натуральні числа, а й вимірювати довжину, час, площа. Не завжди результат вимірювання виражався натуральним числом, доводилося враховувати частини і частки. Потреба в знаходженні часткою одиниці з'явилася у наших предків при розподілі здобичі після полювання. Стародавні єгиптяни особливу пристрасть живили до дробям, в чисельнику яких варто одиниця. У сучасній математиці вони іменуються Аліквотні (від латинського aliguot- "кілька '').
Аліквотна дріб-це дріб виду 1 / n, де n-натуральне число. Єдиною дробом в побуті єгипетських переписувачів, у якій в чисельнику не стояла 1, була дріб 2/3. Єгиптяни вже знали, як два предмета розділити на трьох. Першою дробом, з якою познайомилися єгиптяни, була половіна.Следующей дробом була треть.А ось приклади зображення часто зустрічаються дробів. (2)
У російських рукописних арифметика XVII століття дробу називали частками, пізніше «ламаними числами». У старих довідниках знаходимо такі назви дробів на Русі. (13) (додаток 7)
2.1.2. Аліквотні дроби і Древній Єгипет
У 1858 році в Луксорі Генріхом Ринда знайдений папірусний сувій, розшифровка якого дозволила дізнатися, як використовувалися дробу в Стародавньому Єгипті. Зараз цей сувій знаходиться в Британському музеї в Лондоні. Папірус Ринда був написаний переписувачем на ім'я Ахмеса приблизно в 1650 р до нашої ери. Це математична рукопис, складена вчителем для своїх учнів, які готувалися стати придворними писарів. Вона включає 84 математичні завдання, вирішення і відповіді. У ній виявлено спеціальна таблиця для спрощення практичних розрахунків, що містить розкладання деяких дробів у вигляді суми аліквотних дробів. Ось так виглядали записи в розшифрованому вигляді (пріложеніе3) .Трудность вивчення дробів пояснювалася тим, що учнів примушували заучувати без розуміння. (9)
У папірусі Ахмеса є завдання: «Як розділити 7 хлібів між 8 людьми?». Якщо розрізати кожен хліб на 8 частин, доведеться зробити 49 розрізів. По-єгипетськи ця задача вирішувалася так: 7/8 = ½ + 1/4 + 1/8. Значить, кожній людині треба дати півхліба, чверть хліба і восьмушку хліба. Тепер ясно: треба 4 хліба розрізати навпіл, 2 хліба на 4 частини і тільки один хліб на 8 частин. (Всього 17 розрізів) .І якщо нашому школяреві довелося б зробити 49 розрізів, то Ахмеса - всього 17, тобто єгипетський спосіб майже в 3 рази економічніше. (3; 4).
Міри ємності сипучих тіл були засновані на ієрогліф «Око Хору.» (Додаток 2) .Такі дроби були потрібні, щоб поділити Хекат, основну міру обсягу в Стародавньому Єгипті.
Для древніх людей характерно переплетення образу Сонця і очі. У єгипетській міфології часто згадується бог Гор, що втілює крилатий Сонце і є одним з найпоширеніших сакральних символів. У битві з ворогами Сонця, втіленими в образі Сета, Гор спочатку зазнає поразки. Сет вириває у нього Око - чудове око - і розриває його на шматки. Той - бог вчення, розуму і правосуддя - знову склав частини очі в одне ціле, створивши "здорове око Гора". Зображення частин розрубаного Ока використовувалися при листі в Стародавньому Єгипті для позначення дробів від 1/2 до 1/64. (7)
Таблиця позначень ієрогліфів дробів (додаток 2)
Першим самостійним математиком був італієць Леонардо Пізанський (1180-1240г.), Відомий під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Основна праця Леонардо-книга «LiberAbaci» ( «Книга арифметики 1202-1228г). У ній він вчить дії над змішаними числами і дробами. Вводить дріб замість «ламаною», застосовує постійно дробову риску. (9) (додаток 4)
2.1.3 Розкладання аліквотних дробів
Завдання з використанням в рішенні аліквотних дробів становлять великий клас нестандартних завдань. Щоб уявити число у вигляді суми аліквотних дробів, доводилося проявляти неабияку винахідливість. Позтому виникла ідея систематизувати розкладання дробів у вигляді формули. Ця формула діє, якщо потрібно розкладання аликвотной дробу на дві аліквотні дробу.
Приклади розкладання дробів:
Можна аликвотную дріб представити різницею аліквотних дробів.
2.2 Практична частина
2.2.1.Заданія дослідницького характеру
Ми порахували значення наступних виразів, застосувавши правило складання дробів з різними знаменниками.
Придумали схоже вираз
Почавши приводити дроби до спільного знаменника, зрозуміли, що це важко.
Виявляється, якщо скористатися формулою уявлення аликвотной дробу у вигляді різниці аліквотних дробів, все набагато простіше.
Якщо уявити дробу:
Аналогічно, в придуманому вираженні отримуємо:
Таким чином, для знаходження простого прийому обчислення суми таких виразів, ми склали наступну формулу:
Ми навчилися представляти 1 у вигляді суми різних аліквотних дробів.
скористалися
Щоб розкласти 1 на 3 доданків, ми візьмемо одну аликвотную дріб і за формулою розкладемо її ще на дві аліквотні дробу:
Щоб розкласти на 4 доданків, розкладемо ще одну дріб на дві аліквотні дробу:
2.2.2. Застосування аліквотних дробів при вирішенні олімпіадних завдань.
Заслужений вчитель школи Української РСР Г.І. Шевлякова (1942-1974г.) Подарувала вчителям математики школи № 2 багато математичної літератури. Переглядаючи збірник задач московських математичних олімпіад, ми знайшли завдання із застосуванням аліквотних дробів.
Знайти швидко результати:
А в книзі Ф.Ф. Нагібін «Математична скринька» ми зустріли завдання, в якому також можна застосувати отриману нами формулу.
Для звичайної людини це трудноразрешимая завдання
Обчисліть суму простим прийомом обчислення:
2.2.3. Застосування аліквотних дробів при підготовці завдання 19 ЄДІ.
Завдання 1 [1 Чотири натуральних числа a, b, c і d такі, що
а) Чи можуть усі числа бути попарно різними?
б) Чи може одне з цих чисел дорівнювати дев'яти?
в) Чи може одне з цих числі дорівнювати семи?
а) Так, наприклад, б) Так, наприклад в) Так, наприклад
Відповіді на всі питання ми знайшли за допомогою розкладання 1 на суму аліквотних дробів.
Завдання 2Ь: Чи може сума чотирьох попарно різних дробів виду (де nєN, n> 1) а) Рівнятися 1,3 б) Рівнятися 1,001
1) Щоб дізнатися в якому році в місті Іскітіму відкрився меморіал воїнам-іскітімцам, полеглим в роки ВВВ, потрібно суму аліквотних дробів помножити на 1982.
2) На будівництво пам'ятника І.В.Каратеева, який був відкритий в 1939 році, було витрачено 3926 руб. 26 коп., Артіль "Производственник" зібрала на будівництво 861 руб. артіль імені Астровська 341 рубль, а городяни зібрали 2284 руб. 26 коп..А якщо ви суму аліквотних дробів помножите на 441, то ви дізнаєтеся скільки рублів зібрала школа №2. (14)
2.3.Аліквотние дробу в повсякденному житті людей
Дробу в наш час відіграють незамінну роль. Іноді навіть не помічаючи для самих себе, ми користуємося дробом не тільки на уроках математики, а й у повсякденному житті. (Додаток 8)
Про зв'язок аліквотних дробів з музикою ми дізналися від вчителя музики
В результаті проведеної роботи ми дізналися, що першими дробом, якими оперували люди, були аліквотні дробі.Задачі з використанням аліквотних дробів становлять великий клас нестандартних завдань .У сучасний час вони теж з успіхом застосовуються .В ході виконання роботи ми дізналися, що рішення задач цікаво , розвиває мислення і логіку.
Результати нашого анкетування показали, що школярі мають недостатні знання про аліквотних дробах і хочуть дізнатися більше. Ми вирішили зробити буклет на тему «Аліквотні дроби» і поширити його Це і буде продуктом нашої роботи.
Результати роботи можна використовувати для підготовки до ЄДІ і на факультативних курсах, а також самостійної підготовки учнів по цій темі.