Розглянемо однорідні рівняння теплопровідності.
При відсутності зовнішніх джерел тепла. Поставимо задачу Комі:
Знайти функцію U (x, t) задовольняє рівняння:
Фізичний сенс завдання - визначення температури однорідного нескінченного стрижня в будь-який момент часу по відома,. температурі в початковий момент часу t = 0.
Вважається, що струмів. поверхню стрижня теплоізольована (тепло з стрижня не йде)
Припустимо тепер, що функції U (x, t) і досить гладкі функції, убутні при
Настільки швидко, що істот. преобразів. Фур'є
перетворення Фур'є функції по змін. Х.
2. Чи законні операції діфферен.
Отже, отримуємо, що преобразів. Фур'є другої похідної функції пов'язано з перетворенням Фур'є самої функції следующ. рівністю
Застосуємо преобразів. Фур'є до вихідного рівняння і поч. услов. звівши пост. задачу до задачі Коші для звичайного диференціального рівняння
Від першого рівняння залишилося рівняння:
Отримана задача, є завданням Комі для звичайного діфференц. рівняння.
Рішенням цього завдання є функція
(Що перевіряється простою підстановкою)
Покажемо, що функція
є перетворенням Фур'є
Тобто явл. преобразів. Фур'є від функції:
Ми довели, що функція
Рішення можна записати у вигляді:
Як відомо твір двох перетворень Фур'є = згортку преобраз. функцій дорівнює преобраз. Фур'є від згортки перетворюються функцій
Отримано рішення вихідної задачі Коші і звані. формула Пуассона для розв'язання задачі Коші рівняння теплопровідності.
Залишилося перевірити, що задане рівняння задовольняє початковій умові, тобто
При знаходимо, що
Знайдене рішення задовольняє умові:
Фундаментальне рішення рівняння теплопровідності (- функція Дирана)
Вхідна в формулу Пуассона звані. фундаментал. рішення рівнянь теплопровідності.
Розглядаючи як функція аргументів x, t вона задовольняє рівняння теплопровідності
в чому можна переконатися перевіркою.
Фундаментальне рішення має важливе фізичний зміст, пов'язаний з поняттям теплового імпульсу. Припустимо в початковий момент часу початковий розподіл температури має вигляд:
Чим менше тим вище поличка
Тоді в силу формули Пуассона розподілений. температури в стрижні має вигляд:
по теоремі про повну загальну середню знайдеться така точка
. де спрямуємо. тоді з останньої рівності одержимо
- це означає, що функція являє розподілену температуру в стрижні в момент. якщо початковий момент часу в точці х0 є нескінченний пік температур, а в інших точках стержня температура дорівнює була 0. Таке початкове розподіл температур може бути приближ. реалізовано наступним чином:
У момент до точки х0 стержня на дуже короткий проміжок часу підноситься вузьке полум'я дуже високої температури (тепловий імпульс) - це початковий розподіл температур описів. Формулою Дирана і позначається. Чи не явл. функцією в звичайному сенсі функція визначена формально за допомогою співвідношень
2. для будь-якого інтервалу. утримуючі. точку х0
Таким чином фундамент. рішення явл. рішенням рівняння стержня при початковому розподіл температур