Петро Маковецький. Дивись в корінь! Збірник цікавих завдань і питань
Стовп заввишки h = 5 м і товщиною b = 10 см відкидає на рівнину довгу тінь: Сонце вже хилиться до заходу, висота його над горизонтом всього лише φ = 10 °. Чому дорівнює довжина тіні стовпа? Яка буде її довжина, якщо висоту стовпа збільшити вдвічі?
Той, хто підходить до задачі неуважно, вирішує завдання в два рахунки: він малює креслення, подібний рис. 99, потім обчислює:
Мал. 99. Побудова тіні для точкового джерела
Для другого стовпа довжина тіні
Уважний ж читач помітить, що в такому рішенні ніяк не використано одна величина, що приводиться в вихідних даних, а саме товщина стовпа. При чому тут товщина стовпа? Яке відношення вона має до довжини тіні? Читач, який поставив ці питання, вже близький до правильного рішення задачі.
Якби тіні предметів залежали від величини
сих останніх, а мали б свій довільний зростання,
то, може бути, незабаром не залишилося б
на всій земній кулі жодного світлого місця.
Козьма Прутков. «Думки і афоризми», №29.
Наведений вище спосіб обчислення довжини тіні вірний тільки в разі, коли кутові розміри джерела світла дуже малі ( «точковий» джерело). Сонце - далеко не крапка. Його кутові розміри α рівні приблизно 0,5 °. Тінь в даній точці можлива тільки за умови, що для цієї точки джерело світла закритий повністю. В даному випадку джерело світла закривається порівняно тонким стовпом. Тому цілком ймовірно, що в тому місці, де при розрахунку за наведеними вище формулами повинна знаходитися тінь вершини стовпа, насправді буде лише півтінь, бліда, ледь помітна, а то і зовсім непомітна. Повна тінь буде тільки в тих точках, для яких видимі кутові розміри товщини стовпа α2 перевершують кутові розміри α Сонця C. тобто α2 ≥ α = 0,5 °.
Мал. 100. Побудова тіні стовпа
Відрізок b = 10 см видно під кутом α2 (рис. 100) з відстані r1. яке можна знайти з наближеною формули
Кут α2 буде дорівнює куту α, якщо
r1 = b / sin α = 10 / 0,0087 = 1140 см = 11,4 м.
Мал. 101. Побудова півтіні стовпа
На рис. 101 показаний стовп BO висотою h. його тінь A10 довжиною l1 і півтінь AA1. Довжину тіні, очевидно, можна знайти з трикутника A1B1O. у якого гіпотенуза дорівнює обчисленому r1:
В обчисленнях довжини тіні другого, більш високого стовпа, очевидно, немає необхідності. При даній товщині стовпів довжина тіні не залежить від їх висоти, якщо висота перевершує деяку критичну, рівну в нашому випадку