Кожен експеримент закінчується якимось певним результатом, який не завжди можливо заздалегідь передбачити. Для того, щоб формально описати деякий експеримент, потрібно вказати всі можливі варіанти результатів, якими цей експеримент може закінчитися. У теорії ймовірностей такі результати називаються наслідками. Безліч всіх можливих результатів експерименту називається простором елементарних фіналів. Передбачається, що експеримент може закінчитися одним і тільки одним елементарним результатом. У найбільш простому випадку всі ці результати можна перерахувати:
Таке простір елементарних фіналів називається дискретним.
Найпростішим простором елементарних фіналів є такий простір, в якому окреслені результати розглянутого експерименту:
2) взаємно несумісні (тобто в результаті експерименту може відбутися один і тільки один із зазначених випадків),
3) всі результати утворюють повну групу подій (тобто ніякі інші результати, крім перерахованих, не можуть відбутися).
Такий простір звичайно і називається простором рівно можливих випадків (або симетричним простором).
ПРИКЛАД 1. При киданні симетричною монети можливі два результати - випадання решки або герба. Вони задовольняють всім трьом зазначеним вище умовам і тому в цьому випадку простір елементарних фіналів представляється так (тут буквами Р і Г позначені решка і герб відповідно):
ПРИКЛАД 2. При одночасному киданні двох монет результати являють собою впорядковані пари, що складаються з символів Р і Г. Перший елемент цієї пари - результат, який випав на першій монеті, другий елемент - результат на другий монеті. Очевидно, що таких пар - чотири:
ПРИКЛАД 3. У разі кидання гральної кістки може випасти будь-яка з чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тому простір елементарних фіналів
ПРИКЛАД 4. При одночасному киданні двох гральних кісток елементарні результати являють собою пари (x, y), де x - число очок, яке випало на першій кістки, а y - число очок на другий кістки. Всього таких пар - 36:
У дискретному просторі ймовірність кожного елементарного результату вважається заданою і позначається Р (i), або просто рi. причому завжди
тобто сума (кінцева або нескінченна) ймовірностей всіх елементарних фіналів дорівнює одиниці. Елементарні результати ми називаємо елементарним подією.
Подією називається будь-яка підмножина, що складається з елементарних фіналів простору елементарних подій. Кажуть, що «подія А сталося», якщо експеримент закінчився одним з елементарних фіналів i А.
Ймовірністю події А називається сума ймовірностей всіх елементарних фіналів, що входять в А, тобто Р (А) =. З цього визначення ймовірності події слід, що завжди 0 Р (А) 1.
У разі рівно можливих випадків ймовірність елементарного події А визначається формулою
де - число елементів у множині. яке зазвичай називається «загальне число випадків», а - число елементів у множині A, зване «числом сприяють результатів».
Подія А, що складається з усіх елементарних фіналів, що не входять в А, називається протилежним подією до події А. Воно відбувається тоді і тільки тоді, коли подія A не відбулося. Очевидно що Р (А) + Р (А) = 1. Це рівність використовується для обчислення ймовірності події А в разі, коли ймовірність протилежної події відома або легко може бути знайдена, тоді Р (А) = 1 - Р (А).
Таким чином, для обчислення ймовірності в кожній задачі важливо визначити, в чому полягає експеримент, правильно побудувати відповідний простір елементарних подій і виділити в ньому до події A. Потім, використовуючи методи комбінаторики, підрахувати число елементів в і A.
Завдання 1. У ящику 5 апельсинів і 4 яблука. Навмання вибираються 3 фрукта. Яка ймовірність, що всі три фрукта - апельсини?
Рішення. Елементарними наслідками тут є вибірки, що включають 3 фрукта.
Рішення. Так як порядок тут байдужий, будемо вважати вибірки неупорядкованими (і, зрозуміло, бесповторном). Загальна кількість елементарних фіналів дорівнює числу способів вибрати 3 елементи з 9, тобто числу сполучень n =. Число сприятливих результатів m = буде дорівнює числу способів вибору трьох апельсинів з наявних 5, тобто числу поєднань трьох елементів з 5, тобто тоді ймовірність
Завдання 2. Викладач пропонує кожному з трьох студентів задумати будь-яке число від 1 до 10. Вважаючи, що вибір кожним із студентів будь-якого числа з заданих равновозможен, знайти ймовірність того, що у кого-то з них задумані числа співпадуть.
Рішення. Підрахуємо спочатку загальна кількість випадків. Елементарними наслідками будемо вважати впорядковані сукупності задуманих чисел: N1. N2. N3. де N1 - число, задумане першим студентом, N2 - другим і N3 - третім Перший з них вибирає одне з 10 чисел - 10 можливостей, другий робить те ж саме - 10 можливостей, нарешті, вибір третього також 10 можливостей. Згідно з основною теореми комбінаторики загальне число способів дорівнюватиме:
n = N1 N2 N3 = 10 3 = 1000 елементарних фіналів.
Підрахунок кількості сприятливих результатів складніший. Зауважимо, що збіг задуманих чисел може статися у будь-який пари студентів (або навіть одночасно у всіх трьох). Щоб не розбирати окремо всі ці випадки, зручно перейти до протилежного події, тобто підрахувати кількість тих випадків, коли всі три студента задумують різні числа. Перший з них як і раніше має 10 способів вибору числа. Другий студент тепер має лише 9 можливостей (оскільки йому доводиться дбати про те, щоб його число не співпало з задуманим числом першого студента N2 N1. Третій студент ще більш обмежений у виборі - у нього всього 8 можливостей (з 10 можливих для N3 виключаються два числа: N3 N1. N3 N2). Тому загальне число комбінацій задуманих чисел, в яких немає збігів, так само в силу тієї ж основної теореми m = 10 9 8 = 720. Решта випадків 1000 - 720 = 280 характеризуються наявністю хоча б одного збігу. отже, шукана ймовірність збігу дорівнює Р = 280/1000 = 0,28.
Завдання 3. Знайти ймовірність того, що в 8-значному числі рівно 4 цифри збігаються, а решта різні.
Рішення. Подія А =. З умови задачі випливає, що в числі 5 різних цифр, одна з них повторюється - число способів її вибору - будь-яка з 10 цифр, і ця цифра займає будь-які 4 місця в числі - число способів. Решта 4 місця займають різні цифри з невикористаних 9, і так як число залежить від порядку розташування чисел, то число способів вибору чотирьох цифр одно. Тоді число сприятливих результатів. Всього ж способів складання 8-значних чисел одно || = 10 8. Шукана ймовірність дорівнює.
Завдання 4. Шість клієнтів випадковим чином звертаються в 5 фірм. Знайти ймовірність того, що хоча б в одну фірму ніхто не звернеться.
Рішення. Розглянемо зворотне подія. що складається в тому, що в кожну з 5 фірм звернувся клієнт, тоді в якусь із них звернулися двоє людей, а в інші 4 фірми - по одному клієнту. Таких можливостей. А всього способів розподілити 6 клієнтів по 5 фірмам. Звідси. отже.
Завдання 5. Серед 25 екзаменаційних білетів є 5 «щасливих» і 20 «нещасливих». Студенти підходять за квитками один за іншим по черзі. У кого більше ймовірність витягнути «щасливий» квиток: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?
Рішення. Нехай «щасливі» квитки мають номери 1,2,3,4,5. Позначимо через i1 номер квитка, взятого першим студентом, через i2 - номер квитка, взятого другим студентом, тоді елементарним результатом буде пара. а простір елементарних фіналів
тут все елементарні результати різновірогідні. Подія А = має вигляд
Кожне з подій А і В містить елементів, а весь простір містить елементів. Отже, Р (А) = Р (В) = 1/5.