Теорія ймовірностей - розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ.
Досвідом називається відтворений комплекс умов, при яких спостерігається досліджуване випадкове явище. Приклад. Підкидання грального кубика або монети.
Подія - це будь-яка якісна або кількісна характеристика досліджуваного випадкового явища. Подія називається достовірною, якщо воно завжди настає в результаті досвіду. Подія називається неможливою, якщо воно не може наступити в результаті досвіду.
У випадку з підкиданням монети випадковими подіями будуть «орел» або «решка». У разі гральної кістки випадкові події можуть бути більш різноманітними, наприклад: поява на верхній грані гральної кістки одиниці; числа, більшого трьох; простого числа і т. д.
Випадкові події будемо позначати великими латинськими літерами A. B і т.д.
Неможливе подія будемо позначати буквою V. а достовірне буквою U.
Визначення (класичне визначення ймовірності):
Ймовірністю події A називається число P (A) = m / n, де n-число всіляких, взаємовиключних і рівно можливих випадків розглянутого досвіду, m-число тих з них, які сприятливі події A.
З визначення ймовірностей випливає, що ймовірність будь-якої події не менш нуля і не більше одиниці: 0≤P (A) ≤1. крім того P (V) = 0. а P (U) = 1.
Приклад. Досвід полягає в киданні м'яча в баскетбольне кільце. В результаті проведення досвіду можливо два результати: «м'яч в кільці» або «промах». Студент Петров 10 разів кидав м'яч в кільце, з них промахів було сім, а влучень - три. Таким чином, в даній серії кидків ймовірність події "м'яч в кільці" дорівнює 0,3, а ймовірність "промаху" - 0,7.
Визначення. Сумою подій A і B називається подія C. полягає в тому, що сталося хоча б одне з двох подій A або B. Той факт, що подія C є сумою подій A і B записують так: C = A + B або.
Визначення. Твором подій A і B називається подія C. полягає в тому, що відбулися обидві події A і B. Той факт, що подія C є твором подій A і B записують так: C = A∋B або.
Визначення. Подією, протилежним події A. називається подія. що полягає в тому, що подія A не відбулося.
Завдання 1. У ящику 5 апельсинів і 4 яблука. Навмання вибираються 3 фрукта. Яка ймовірність, що всі три фрукта - апельсини?
Рішення . Елементарними наслідками тут є набори, які включають 3 фрукта. Оскільки порядок фруктів байдужий, будемо вважати їх вибір неврегульованим (і бесповторного). Загальна кількість елементарних фіналів дорівнює числу способів вибрати 3 фрукта з 9, тобто числу поєднань. Число сприятливих результатів дорівнює числу способів вибору 3 апельсинів з наявних 5, тобто . Тоді шукана ймовірність
Завдання 2. Викладач пропонує кожному з трьох студентів задумати будь-яке число від 1 до 10. Вважаючи, що вибір кожним із студентів будь-якого числа з заданих равновозможен, знайти ймовірність того, що у кого-то з них задумані числа співпадуть.
Рішення. Підрахуємо загальна кількість випадків. Перший із студентів вибирає одне з 10 чисел і має n1 = 10 можливостей, другий теж має n2 = 10 можливостей, нарешті, третій також має n3 = 10 можливостей. В силу правила множення загальне число способів дорівнює: n = n1'n2'n3 = 10 3 = 1000, тобто весь простір міститься 1000 елементарних фіналів.
Для обчислення ймовірності події A зручно перейти до протилежного події, тобто підрахувати кількість тих випадків, коли всі три студента задумують різні числа. Перший з них як і раніше має m1 = 10 способів вибору числа. Другий студент має тепер лише m2 = 9 можливостей, оскільки йому доводиться дбати про те, щоб його число не співпало з задуманим числом першого студента. Третій студент ще більш обмежений у виборі - у нього всього m3 = 8 можливостей. Тому загальна кількість комбінацій задуманих чисел, в яких немає збігів, так само m = 10 × 9 × 8 = 720. Випадків, в яких є збіги, залишається 280. Отже, шукана ймовірність дорівнює Р = 280/1000 = 0,28.
Завдання 3. Нехай в урні є N куль, з них М білих і N-M чорних. З урни витягується n куль. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться рівно m білих куль.
Рішення. Так як порядок елементів тут є несуттєвим, то число всіх можливих наборів обсягу n з N елементів дорівнює числу сполучень. Число випробувань, які благопріятcтвуют події А - "m білих куль, n-m чорних", так само. і, отже, шукана ймовірність дорівнює Р (А) =.
Завдання 4. Точку навмання кинули на відрізок [0; 2]. Яка ймовірність її попадання в відрізок [0,5; 1,4]?
Рішення. Тут простір елементарних фіналів весь відрізок. а безліч сприятливих результатів. при цьому довжини цих відрізків рівні і відповідно. Тому
Завдання 5 (завдання про зустріч). Два особи А і В домовилися зустрітися в певному місці між 12 і 13 годинами. Прийшовши першим чекає іншого протягом 20 хвилин, після чого йде. Чому дорівнює ймовірність зустрічі осіб А і В, якщо прихід кожного з них може статися навмання протягом зазначеного часу й моменти приходу незалежні?
Рішення. Позначимо момент приходу особи А через х і особи В - через у. Для того, щоб зустріч відбулася, необхідно і достатньо, щоб ôх-уô£ 20. Зобразимо х і у як координати на площині, в якості одиниці масштабу виберемо хвилину. Всілякі результати представляються точками квадрата зі стороною 60, а сприятливі зустрічі розташовуються в заштрихованої області. Шукана ймовірність дорівнює відношенню площі заштрихованої фігури (рис. 2.1) до площі всього квадрата: P (A) = (60 2 -40 2) / 60 2 = 5/9.
