Перестановкою чисел 1, 2. n називається будь-яке розташування цих чисел у певному порядку. У елементарної алгебрі доводиться, що число всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, одно 1 * 2. n = n. Наприклад, з трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3! = 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що в даній перестановці числа i і j становлять інверсію (безлад), якщо i> j , але i стоїть в цій перестановці раніше j, тобто якщо більше стоїть лівіше меншого.
Перестановка називається парною (або непарної). якщо в ній відповідно парне (непарне) загальне число інверсій. Операція, за допомогою якої від однієї перестановки переходять в іншу, складеної з тих же n чисел, називається підстановкою n-го ступеня.
Підстановка, яка переводить одну перестановку в іншу, записується двома рядками в загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в розглянутих перестановках, називаються відповідними і пишуться одне за іншим. Наприклад, символ позначає підстановку, в якій 3 перетворюється на 4, 1 ® 2, 2 ® 1, 4 ® 3. Підстановка називається парної (або непарній), якщо загальна кількість інверсій в обох рядках підстановки парне (непарне). Будь-яка підстановка n-го ступеня може бути записана у вигляді, тобто з натуральним розташуванням чисел у верхньому рядку.
Нехай нам дана квадратна матриця порядку n
Розглянемо всі можливі твори по n елементів цієї матриці, узятих по одному і тільки по одному з кожного рядка і кожного шпальти, тобто творів виду:
де індекси q1. q2. qn становлять деяку перестановку з чисел 1, 2. n. Число таких творів одно числу різних перестановок з n символів, тобто одно n. Знак твори (4.4) дорівнює. де q # 8209; число інверсій в перестановці других індексів елементів.
Визначником n-го порядку, відповідним матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для запису визначника вживається символ
(Детермінант, або визначник, матриці).
1. Визначник не змінюється при транспонировании.
2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
3. Якщо у визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.
4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.
5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на деяке число k, то сам визначник множиться на k.
6. Визначник, у якому дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.
7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків, то визначник дорівнює сумі визначників, у яких всі рядки, крім i-ой, - такі ж, як в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj. в іншому - з елементів cj.
8. Визначник не змінюється, якщо до елементів однієї з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.
Зауваження. Всі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.
Мінором елемента aij визначника d n-го порядку називається визначник порядку n-1, який виходить з d викреслюванням рядка і стовпця, що містять цей елемент.
Алгебраїчним доповненням елемента aij визначника d називається його мінор. взятий зі знаком. Алгебраїчне доповнення елемента aij будемо позначати. Таким чином, .
Способи практичного обчислення визначників, засновані на тому, що визначник порядку n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.
Теорема (розкладання визначника по рядку або стовпцю).
Визначник дорівнює сумі творів всіх елементів довільної його рядки (чи шпальти) на їх алгебраїчні доповнення. Інакше кажучи, має місце розкладання d по елементам i-го рядка
або j- го стовпчика
Зокрема, якщо всі елементи рядка (або стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому на його алгебраїчне доповнення.
Приклад 2.4. Не вважаючи визначника, показати, що він дорівнює нулю.
Рішення. Віднімемо з другого рядка першу, отримаємо визначник, що дорівнює вихідному. Якщо з третього рядка також відняти першу, то вийде визначник, в якому два рядки пропорційні. Такий визначник дорівнює нулю.
Приклад 2.5. Обчислити визначник, розклавши його по елементах другого стовпця.
Рішення. Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:
Приклад 2.6. обчислити визначник
в якому всі елементи по одну сторону від головної діагоналі дорівнюють нулю.
Рішення. Розкладемо визначник по першому рядку:
Визначник, що стоїть праворуч, можна знову розкласти по першому рядку, тоді отримаємо:
І так далі. Після n кроків прийдемо до рівності.
Приклад 2.7. обчислити визначник
Рішення. Якщо до кожного рядка визначника, починаючи з другої, додати перший рядок, то вийде визначник, в якому всі елементи, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюватимуть нулю. А саме, отримаємо визначник:
Розмірковуючи, як в попередньому прикладі знайдемо, що він дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто n. Спосіб, за допомогою якого обчислений даний визначник, називається способом приведення до трикутного вигляду.