Розглянемо безліч всіх молекул в земній атмосфері. Це безліч містить дуже велике число елементів (приблизно 1.02 77 010 541 0), але воно кінцеве, тобто існує така константа, яка більше числа елементів цієї множини. Крім кінцевих існують нескінченні множини. Одним із завдань теорії множин є визначення числа елементів безлічі і дослідження питання про порівняння один з одним двох множин за кількістю елементів.
Для кінцевих множин самої різної природи ця задача легко вирішується безпосереднім підрахунком. Для нескінченних множин питання про порівняння неможливо вирішити як для кінцевих, за допомогою підрахунку. Тому Кантор запропонував для порівняння двох нескінченних множин встановити між ними взаємно однозначне (биективное) відображення. Розглянемо приклади встановлення такого відображення.
Приклад 1. В якості безлічі А розглянемо інтервал на числовій прямій, нехай А = (- 1, 1), а в якості безлічі В - безліч дійсних чисел R. Це множини однакової потужності, т.к відображення f (x) = tg (px / 2), хÎА дозволяє встановити між ними шукане взаємно-однозначна відповідність.
Приклад 2. Нехай А = [-1,1], В = (-1,1). Будуємо відображення f. A ® B за таким правилом: виділимо в А послідовність -1, 1, 1/2, 1/3, 1/4. 1 / n і покладемо f (-1) = 1/2, f (1) = 1/3, f (1/2) = 1/4, f (1/3) = 1/5, тобто f (1 / n) = 1 / (n + 2), а всі крапки, що не входять в цю послідовність відобразимо самі в себе, тобто f (x) = = x. Отже, відкритий і замкнутий інтервали еквівалентні.
Потужність безлічі є узагальненням поняття числа елементів множини. Якщо взаємно однозначне відображення множин встановлено, значить, за визначенням, в обох множинах однакове число елементів або потужність одного безлічі дорівнює потужності іншого безлічі.
Потужність - це щось спільне, що є у двох еквівалентних множин. Потужність безлічі A позначається m (A) або | A |. Таким чином, m (A) = m (B), якщо A
Якщо множина A еквівалентно будь-якому підмножині множини B, то потужність A не більш потужності B (тобто m (A) £ m (B)). Якщо при цьому безліч B не еквівалентне ніякому підмножині множини A, то m (A) Найпростішим серед нескінченних множин є безліч натуральних чисел N. ВИЗНАЧЕННЯ. Назвемо рахунковим всяке безліч, еквівалентну безлічі N. Іншими словами, рахунковим називається всяке безліч, елементи якого можна перенумерувати або скласти з них нескінченну послідовність. Приклади рахункових множин. 1. Безліч цілих чисел Z = .Построім з його елементів послідовність: a1 = 0; a2 = -1; a3 = 1; a4 = -2; a5 = 2 ;. Формулу для обчислення її загального члена можна записати у вигляді 2. Безліч Q всіх раціональних чисел. Доведемо счетності цього безлічі. Як відомо, раціональні числа - це дроби виду p / q, де pÎZ. qÎN. Запишемо їх у вигляді таблиці з нескінченного числа рядків і стовпців З елементів цієї таблиці побудуємо послідовність за наступним правилом a1 = 0/1; a2 = 1/1; a3 = -1 / 1; a4 = 1/2; a5 = -2 / 1; a6 = 2/1 і т.д. рухаючись в напрямку, зазначеному стрілками. Очевидно, в цю послідовність увійдуть всі раціональні числа. Більш того, в ній багато числа будуть повторюватися. Отже, потужність безлічі елементів цієї послідовності не менш потужності безлічі раціональних чисел. З іншого боку, ця послідовність еквівалентна натуральному ряду, тобто подмножеству безлічі Q. а значить вона не може мати потужність, велику ніж Q. Значить, безліч раціональних чисел лічильно. Нескінченна безліч не є рахунковим називається незліченною. 1. Будь-яке підмножина рахункового безлічі звичайно або лічильно. ДОВЕДЕННЯ. Нехай А - рахункова безліч і BÍА. Оскільки А лічильно, то Занумеруем його елементи і побудуємо з них послідовність З цієї послідовності виділимо всі елементи, що належать безлічі B, тобто розглянемо послідовність Можливі такі випадки: 1) безліч B звичайно; 2) безліч B нескінченно. Оскільки елементи множини B пронумеровані, то в другому випадку воно є рахунковим, що й треба було довести. 2. Об'єднання будь-якого кінцевого або рахункового безлічі рахункових множин знову є рахунковим. ДОВЕДЕННЯ. Нехай безлічі А1. A2. Аn. - рахункові. Якщо їх число не більше, ніж лічильно, то безлічі можна занумерувати і розташувати належні їм елементи в таблицю Нехай B =. Побудуємо послідовність подібно до того, як це було зроблено в п. 4 при доказі счетності Q. Якщо безлічі Аi попарно перетинаються (Аi ÇАj ¹Æ), То в послідовність (1) не включаються ті елементи, які вже пронумеровані. Таким чином, побудовано взаємно однозначне відповідність між множинами B і N. Отже, безліч B лічильно. 3. Будь-яке безліч містить рахункове підмножина. ДОВЕДЕННЯ. Нехай М - довільна безліч. Виберемо в ньому довільний перший елемент і позначимо його a1. потім - елемент a2 і т.д. Отримуємо послідовність a1. a2. яка не може обірватися на якомусь елементі, так як М нескінченно. Отже, дана послідовність утворює рахункове підмножина безлічі М. Доведена теорема дозволяє стверджувати, що серед нескінченних множин рахункове безліч є самим "маленьким". Якщо безліч звичайно або лічильно то кажуть, що воно не більше, ніж лічильно. Розглянуті приклади і властивості можуть створити враження, що все нескінченні безлічі Рахункової. Однак, це далеко не так, і для доказу цього достатньо побудувати контрприклад, тобто пред'явити безліч, що не є рахунковим. ТЕОРЕМА. Безліч всіх нескінченних бінарних послідовностей, тобто що складаються з 0 і 1, незліченно. ДОВЕДЕННЯ. Припустимо гидке, тобто що ці послідовності можна занумерувати. Нехай P1. P2. - послідовності, де P1 = 11. a12. a13.>, P2 = 21. a22. a23.> і т.д. де аij = 0 або аij = 1. Побудуємо послідовність P, не що є в цьому списку. Така послідовність існує, наприклад, P = 11. 1-a22. 1-a33.>. Очевидно, що її елементи рівні 0 або 1, причому вона не дорівнює жодній іншій зі списку, тому що відрізняється від послідовності P1 принаймні першим елементом, від P2 - принаймні другим і т.д. Таким чином, побудована послідовність відрізняється від будь-якої з занумерованих послідовностей хоча б одним елементом. Отже, безліч всіх бінарних послідовностей занумерувати неможливо, а це означає, що воно незліченно.Схожі статті