Розмірності фізичних величин
Наявність різних систем ставить задачу перекладу одних одиниць в інші. Очевидно, зміна основних одиниць повинно приводити і до зміни похідних. Так, наприклад, якщо замість метра за одиницю шляху візьмемо кілометр, то отримаємо одиницю швидкості кілометр в секунду, в 1000 разів більшу, ніж метр у секунду. Взявши в якості одиниці часу годину і зберігши в якості одиниці шляху метр, отримаємо одиницю швидкості метр на годину, в 3600 разів меншу, ніж метр у секунду. Нарешті, можна отримати одиницю швидкості кілометр на годину, що дорівнює 1000/3600 м / с ≈ 0,278 м / с, якщо в якості одиниці довжини взяти кілометр, а в якості одиниці часу - годину. Ми бачимо, що всяка зміна основних одиниць змінює відповідно похідну одиницю.
Бажано знайти таке співвідношення, яке дозволяло б визначити, як зі зміною кожної з основних одиниць зміниться похідна одиниця, що цікавить нас величини. Таке питання вперше поставив в 1822 р французький математик і фізик Ж. Фур'є в своїй монографії "Аналітична теорія тепла". У цій монографії він ввів поняття і термін "розмірність". Відповідно до цього поняття, якщо при зміні основної одиниці в n раз похідна одиниця змінюється в раз, то ця похідна одиниця володіє розмірністю p по відношенню до відповідної основної одиниці. Фур'є в якості величин, одиниці яких він прийняв за основні, встановив довжину, час і температуру. При цьому він визначив розмірності величин, що входять в виведені ним рівняння. Так, для об'ємної теплоємності розмірність щодо довжини виявляється рівною "-3", щодо часу - "0" і щодо температури - "-1".
В СІ і СГС одиниці довжини, маси і часу є основними. Тому якщо похідна одиниця величини А змінюється пропорційно ступеня р зміни одиниці довжини, пропорційно ступеня q зміни одиниці маси і ступеня r зміни одиниці часу, то одиниця величини А володіє розмірністю р щодо одиниці довжини, розмірністю q щодо одиниці маси і розмірністю r щодо одиниці часу. Символічно це записують у вигляді
де квадратні дужки, в які укладено символ величини А. означають, що мова йде про розмірності одиниці цієї величини щодо одиниць довжини, маси і часу;
символи L. М і Т є узагальнені одиниці цих величин, без вказівки конкретного розміру одиниць [1]). В якості одиниці довжини можна прийняти метр, сантиметр, милю, в якості одиниці маси - кілограм, грам, тонну, карат, в якості одиниці часу - секунду, годину, добу.
Формулу (8), що представляє собою розмірність одиниці величини А. називають коротко "розмірність А", подібно до того, як замість виразу "величина, одиниця якої прийнята в якості основної", застосовується скорочене вираз "основна величина". Термін "розмірність фізичної величини" є поширеним; він узаконений, і ми будемо їм у подальшому користуватися.
Якщо в двох системах розмірності будь-якої величини збігаються, але розміри основних одиниць різні, то відношення похідних одиниць визначиться безпосередньо розмірністю, в яку слід замість L. М і Т підставити відносини відповідних основних одиниць. Наприклад, якщо кожну з основних одиниць збільшити в 10 разів, то похідна одиниця збільшиться в раз. Якщо похідна одиниця не залежить від розміру будь-якої з основних одиниць, то кажуть, що дана похідна одиниця має нульовий розмірністю по відношенню до відповідної основної одиниці. Може виявитися, що розмір похідною одиниці не залежить ні від однієї з основних одиниць. Відповідну величину називають безрозмірною або величиною нульової розмірності по відношенню до всіх величинам, прийнятим за основні.
Розмірності можуть служити для перевірки рівнянь, що виражають фізичні закономірності. Якщо розмірність однієї або декількох величин по відношенню хоча б до однієї з основних одиниць не збігається з розмірністю інших величин, що стоять в рівнянні, то можна стверджувати, що рівняння помилково. Дійсно, припустимо, що при якомусь виборі розміру основних одиниць ліва і права частини рівняння виявляються чисельно рівними. Нехай при цьому розмірності лівої і правої частин рівняння по відношенню до однієї з основних одиниць не збігаються. Змінимо в якесь число раз розмір цієї одиниці. Очевидно, що ліва і права частини рівняння зміняться в різне число раз і колишнє рівність частин порушиться.
Вимога рівності розмірностей всіх членів рівняння, що описує будь-яка фізична явище, будь-яку фізичну закономірність, по суті, збігається з вимогою, щоб розмірність записувалася тільки для таких величин, для яких задовольняється умова абсолютного значення відносних кількостей. При цьому виявляється, що при будь-якому виборі основних одиниць розмірність похідної одиниці є одночлен, що складається з творів розмірностей основних одиниць в деяких ступенях, причому ці ступеня можуть бути як позитивними, так і негативними, як цілими, так і дробовими.
Доведемо це положення, використовуючи для наочності конкретний приклад з визначенням розмірності сили. Нехай два тіла однакової маси протягом деякого часу піддаються дії різних сил. Початкові швидкості обох тіл дорівнюють нулю. В результаті тіла пройдуть різні відстані, що залежать від діючих сил. Оскільки маси тіл і час руху в обох випадках однакові, сили і пройдені відстані однозначно пов'язані один з одним. Будемо вважати одиницю довжини основної, тобто обраній довільно, а одиницю сили - похідною, тобто залежної від вибору одиниці довжини. Позначимо числові значення сил F1 і F2. а пройдених шляхів l1 і l2. Існуючі зв'язку між F1 і l1 і між F2 і l2 запишемо в загальному вигляді:
З умови абсолютного значення відносних кількостей випливає, що відношення
не залежить від вибору одиниць. Тому одиницю довжини можна збільшити або зменшити в будь-яке число раз. Зменшимо цю одиницю в x раз.
Відповідно числа, що вимірюють шляху l1 і l2. збільшаться в x раз. Таким чином,
що й потрібно було довести. Очевидно, що таким же шляхом можуть бути доведені і інші теореми.
Важливо відзначити таку обставину. Так як спосіб побудови похідної одиниці включає в себе прирівнювання одиниці (або іншому безпідставного постійному числу, яке не залежить від розміру основних одиниць) коефіцієнта пропорційності у визначальному рівнянні, то це означає, що ми домовляються вважати цей коефіцієнт безрозмірним. Пояснимо сказане прикладами.
1) Розмірність площі квадрата можна записати у вигляді
або, опускаючи тут, як і в подальшому, символи основних одиниць, що стоять в нульової розмірності, у вигляді
2) Розмірність площі кола буде
оскільки коефіцієнт є постійним коефіцієнтом, не залежних від розміру основних одиниць, а тому безрозмірним. Тому розмірність площі будь-якої геометричної фігури незалежно від її форми буде
3) Розмірність швидкості можна визначити з формули швидкості рівномірного руху:
4) Розмірність прискорення визначається з формули прискорення рівноприскореного руху:
Для наочності скористаємося останньою формулою з тим, щоб визначити, як зміниться одиниця прискорення, якщо від вимірювання довжини в метрах і часу в секундах перейти до вимірювання довжини в кілометрах і часу в хвилинах. При такому переході одиниця довжини збільшується в 1000 разів, а одиниця часу - в 60 разів. Відповідно до формули (40) одиниця прискорення зміниться в 1000/60 2 = 10/36 рази, тобто нова одиниця прискорення дорівнюватиме 0,278 старої.
5) Розмірність кінетичної енергії, яка визначається формулою
буде, очевидно, дорівнює (в СІ і СГС)
З останньої формули, зокрема, випливає, що якщо перейти при вимірах довжини від сантиметрів до метрів, а при вимірюванні маси від грамів до кілограмам і зберегти одиницю часу секунду, то одиниця кінетичної енергії збільшується в (100) 2 # 8729, 1000 = 10 7 разів.
6) Другий закон Ньютона, записаний у формі
де - імпульс сили,
- імпульс або кількість руху тіла, визначає розмірність сили:
Надалі, досліджуючи одиниці похідних величин, ми завжди будемо звертатися до размерностям. Розмірність похідної одиниці часто визначає і її найменування, і її символічне позначення. Наприклад, одиниця швидкості метр в секунду позначається м / с, одиниця площі квадратний метр - м 2. і т.д.
Генерація сторінки за: 0.031 сек.