Розглянемо диференціальне рівняння виду \ [P \ left (\ right) dx + Q \ left (\ right) dy = 0, \] де \ (P \ left (\ right) \) і \ (Q \ left (\ right) \) - функції двох змінних \ (x \) і \ (y, \) безперервні в деякій області \ (D. \) Якщо \ [\ frac >> \ ne \ frac >>, \] то рівняння не буде рівнянням в повних диференціалах. Однак ми можемо спробувати підібрати так званий інтегруючий множник. представляє собою функцію \ (\ mu \ left (\ right), \) таку, що після множення на неї диференціальне рівняння перетворюється в рівняння в повних диференціалах. В такому випадку справедливо рівність: \ [\ frac \ right)> \ right) >>> = \ frac \ right)> \ right) >>>. \] Ця умова можна записати у вигляді: \ [>> + \ mu \ frac >> = P \ frac >> + \ mu \ frac >>,> \; \; >> - P \ frac >> = \ mu \ left (>> - \ frac >>> \ right).> \] Останній вираз являє собою рівняння в приватних похідних першого порядку, яке визначає інтегруючий множник \ (\ mu \ left (\ right). \)
На жаль, не існує загального методу знаходження інтегруючого множника. Однак можна згадати деякі окремі випадки, для яких можна вирішити отримане рівняння в приватних похідних і, в результаті, визначити інтегруючий множник.
1. Інтегруючий множник залежить від змінної \ (x: \) \ (\ mu = \ mu \ left (x \ right). \)
У цьому випадку ми маємо \ (\ large \ frac >> \ normalsize = 0, \) тому рівняння для \ (\ mu \ left (\ right) \) можна записати у вигляді: \ [\ frac \ frac >> = \ frac \ left (>> - \ frac >>> \ right). \] Права частина цього рівняння має бути тільки функцією від \ (x. \) Функцію \ (\ mu \ left (x \ right) \) можна знайти, інтегруючи останнє рівняння.
2. Інтегруючий множник залежить від змінної \ (y: \) \ (\ mu = \ mu \ left (y \ right). \)
Аналогічно, якщо \ (\ large \ frac >> \ normalsize = 0, \) то ми отримуємо звичайне диференціальне рівняння, що визначає інтегруючий множник \ (\ mu: \) \ [\ frac \ frac >> = - \ frac\ Left (>> - \ frac >>> \ right), \] де права частина залежить тільки від \ (y. \) Функція \ (\ mu \ left (y \ right) \) знаходиться інтегруванням даного рівняння.
3. Інтегруючий множник залежить від певної комбінації змінних \ (x \) і \ (y: \) \ (\ mu = \ mu \ left (\ right)> \ right). \)
Нова функція \ (\ right)> \) може бути, наприклад, типу: \ [z = \ frac, \; \; \; z = xy, \; \; \; z = +, \; \; \; z = x + y, \] і так далі.
Тут важливо, що інтегруючий множник \ (\ mu \ left (\ right) \) буде деякою функцією однієї змінної \ (z: \) \ [\ mu \ left (\ right) = \ mu \ left (z \ right) \] і може бути знайдений з диференціального рівняння: \ [\ frac \ frac >> = \ frac >> - \ frac >>>>>> - P \ frac >>>>. \] Передбачається, що права частина рівняння залежить тільки від \ (z \) і знаменник не дорівнює нулю.
Нижче ми розглянемо деякі приклади рівняння \ [P \ left (\ right) dx + Q \ left (\ right) dy = 0, \] для яких можна знайти інтегруючий множник. Загальні умови існування інтегруючого множника виводяться в теорії груп Лі.