Рівнянням в повних диференціалах називається рівняння виду
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0)
ліва частина якого є повним диференціалом деякої функції
U (x, y), тобто dU (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy.
Нагадаємо, що повний диференціал функції U знаходиться за формулою
Умова перевірки рівняння на відповідність повного диференціалу має вигляд
(1)
Рівняння зведені до ДР в повних диференціалах
У деяких випадках залежність
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
не є рівнянням в повних диференціалах, не виконується умова (1). Однак існує функція "мю" така, що якщо на неї помножити початкове рівняння то отримаємо рівнянням в повних диференціалах.
Необхідною і достатньою умовою цього є рівність між собою приватних похідних
Функція "мю" називають інтегруючим множником.
Таким чином крім ДУ щодо функції u (x, y) на практиці доводиться вирішувати диференціальне рівняння в приватних похідних щодо інтегруючого множника.
Але до сих пір залишається відкритим питання, як шукати інтегруючий множник?
Як знайти інтегруючий множник?
У теорії зазвичай методика вже розроблена і інтегруючий множник слід шукати у вигляді
де "омега" - відома функція однієї або двох змінних.
В цьому випадку отримуємо
Після підстановки в умова повного диференціала отримаємо
Розділимо змінні в останньому рядку
Проинтегрировав і поклавши постійну інтегрування рівною нулю знаходимо інтегруючий множник
Розглянемо окремі випадки.
1) Нехай "омега" дорівнює аргументу. Тоді деякі приватні похідні дорівнюють нулю, а інтегруючий множник знаходять за формулою
2) Якщо "омега" рівна y то формула обчислення інтегруючого множника має вигляд
3) У разі коли "омега" дорівнює сумі або різниці квадратів змінних інтегруючий множник знаходимо за формулою
4) І варіант коли маємо твір змінних дає наступну залежність для визначення мю
Висновок формули інтегруючого множника без практики Вас нічого не навчить, тому розглянемо завдання з контрольної роботи на яких Ви побачите суть всіх наведених вище формул. Приклади задавали у Львівському національному університеті ім. І. Франка.
Рівняння в повних диференціалах. Завдання Коші.
Приклад 1. Вирішити диференціальне рівняння і завдання Коші
Рішення: Випишемо множники при диференціалах
і перевіримо чи виконується умова повного диференціала функції двох змінних
Як бачимо, ліва частина рівняння не є повним диференціалом (умова не виконується). Перевіримо чи допускає диференціальне уравненіеінтегрірующій множник
З правого боку бачимо, що дане рівняння допускає множник інтегрування, причому він залежить тільки від y.
Знайдемо інтегруючий множник з диференціального рівняння з відокремленими змінними
Після множення всіх членів рівняння на знайдений інтегруючий множник "мю" () отримаємо Ду першого порядку
Якщо знову перевірити ДУ, то тепер умова на повний диференціал деякої функції виконується
Далі будемо вирішувати отримане ДУ, як в разі звичайного повного диференціала. Проинтегрируем другий доданок по y
Запам'ятайте правило - якщо інтегрування йде по y, то став залежить від "ікси". і навпаки.
Стало яка входить в рівняння визначають обчисленням часткової похідної знайденого рішення по "ікс" і прирівнянням до множника в ДУ при dx.
Звідси знаходимо постійну
З огляду на все вищевикладене, записуємо загальний інтеграл диференціального рівняння
У завданні необхідно знайти часткове рішення (завдання Коші). Для цього записуємо додаткову умову на функцію і визначаємо став
Звідси маємо часткове рішення диференціального рівняння
Воно поки записано в неявній формі, проте в цьому випадку можемо знайти залежність функції від змінної y (x):
- часткове вирішення диференціального рівняння.
Приклад 2. Знайти рішення задачі Коші
Рішення: Записуємо заданий диференціальне рівняння першого порядку в диференціалах
Далі перевіримо чи маємо повний диференціал, виписуємо множники
і знаходимо частинні похідні
Умова на повний диференціал не виконується.
Перевіримо не допускає це рівняння інтегруючого множника
Бачимо що дане рівняння допускає інтегруючий множник який залежить тільки від y. Знайдемо його інтеграцією рівняння
Після множення всіх членів рівняння на знайдений інтегруючий множник вихідне ДУ перетвориться до виду
що відповідає рівнянням в повних диференціалах
Як вирішити таке рівняння Ви вже знаєте, тому переходимо до інтегрування для простоти другого доданка (біля dx)
Щоб визначити постійну - шукаємо приватну похідну функції u по "ікс" і прирівнюємо до другого множника в повному диференціалі
На цей раз став функції не рівна константі і для її установки потрібно знайти кілька інтегралів
Загальний інтеграл диференціального рівняння при підстановці C (x) набуде вигляду
Вирішимо задачу Коші для ДУ
Звідси маємо
- часткове вирішення диференціального рівняння.
Приклад 3. Знайти рішення рівняння за умови Коші
Рішення: Перепишемо ДУ розписавши похідну диференціалами
Далі діємо за методикою для таких рівнянь.
Виписуємо множники біля диференціалів
Перевіряємо умову на повний диференціал функції
Умова не виконується. Перевіримо, чи допускає інтегруючий множник дане рівняння?
Як бачимо права сторона залежна від y тому рівняння допускає інтегруючий множник.
Знайдемо його з ДУ
Після множення всіх членів рівняння на інтегруючий множник "мю" отримаємо наступне рівняння
Умова повного диференціала підтверджується
().
Далі застосовуємо методику для ДУ в повних диференціалах. З першого доданка рівняння інтеграцією знаходимо залежність u (y)
Далі обчислюємо приватну похідну функції u (x, y) по "ікс"
і порівнюємо з частковою похідною початкового рівняння
Неважко знайти звідси константу
Повертаємося і записуємо загальний інтеграл диференціального рівняння
За умовою необхідно знайти частковий інтеграл рівняння (вирішити задачу Коші). Для етогоопределяем значення функції в точці
Константа дорівнює 2, а часткове вирішення ДУ
Для ясності відповіді знайдемо (зворотний) залежність х (у).
- часткове вирішення рівняння
Гарний відповідь незважаючи на масу перетворень і інтегралів.
З наведених відповідей Ви отримали корисну інструкцію для обчислень. Для перевірки отриманих знань самостійно знайдіть рішення рівнянь, використовуючи інтегруючий множник
Залишайтеся з нами, попереду ще багато готових прикладів диференціальних рівнянь.