VIII клас: Тема 3. Площі фігур. Теорема Піфагора.
1. Поняття площі. Рівновеликі фігури.
Якщо довжина - це числова характеристика лінії, то площа - це числова характеристика замкнутої фігури. Незважаючи на те, що з поняттям площі ми добре знайомі з повсякденного життя, суворе визначення цього поняття дати непросто. Виявляється, що площею замкнутої фігури можна назвати будь-яку неотрицательную величину, що володіє наступними властивостями вимірювання площ фігур:
Рівні фігури мають рівні площі.
Якщо дану замкнуту фігуру розбити на кілька замкнутих фігур, то площа фігури дорівнює сумі площ складових її фігур (фігура на малюнку 1 розбита на n фігур; в цьому випадку площа фігури, де Si - площа i -ої фігури).
В принципі, можна було б придумати безліч величин, що володіють сформульованими властивостями, а значить, що характеризують площу фігури. Але найбільш звичною і зручною є величина, що характеризує площу квадрата як квадрат його боку. Назвемо цю «домовленість» третім властивістю вимірювання площ фігур:
Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони (рисунок 2).
При такому визначенні площа фігур вимірюють у квадратних одиницях (див 2. км 2. га = 100м 2).
Фігури. мають рівні площі, називаються рівновеликими.
З
амечаніе: Рівні фігури мають рівні площі, тобто рівні фігури рівновеликі. Але рівновеликі фігури далеко не завжди рівні (наприклад, на малюнку 3 зображені квадрат і трикутник, складені з рівних прямокутних трикутників (до речі, такі фігури називають равносоставленнимі); зрозуміло, що квадрат і трикутник рівновеликі, але не рівні, оскільки не поєднуються накладенням) .
Далі виведемо формули для обчислення площ всіх основних видів багатокутників (в тому числі всім відому формулу для знаходження площі прямокутника), спираючись на сформульовані властивості вимірювання площ фігур.
2. Площа прямокутника. Площа паралелограма.
Формула для обчислення площі прямокутника: Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін (рисунок 4).
дано:
Подовжити сторону AB на відрізок BP = a. а сторону AD - на відрізок DV = b. Побудуємо паралелограм APRV (рисунок 4). Оскільки A = 90, APRV - прямокутник. При цьому AP = a + b = AV. APRV - квадрат зі стороною (a + b).
Позначимо BC RV = T. CD PR = Q. Тоді BCQP - квадрат зі стороною a. CDVT - квадрат зі стороною b. CQRT - прямокутник зі сторонами a і b.
.
Формула для обчислення площі паралелограма: Площа паралелограма дорівнює добутку його висоти на підставу (малюнок 5).
Зауваження: Підставою паралелограма прийнято називати ту сторону, до якої проведена висота; зрозуміло, що підставою може служити будь-яка сторона паралелограма.
Проведемо до основи AD висоту CF (малюнок 5).
BC HF. BH CF. BCFH - п / г за визначенням. H = 90, BCFH - прямокутник.
BCFH - п / г, по властивості п / г BH = CF. BAH = CDF по гіпотенузі і катету (AB = CD по св-ву п / г, BH = CF).
SABCD = SABCF + SCDF = SABCF + SBAH = SBCFH = BH BC = BH AD.
3. Площа трикутника.
Формула для обчислення площі трикутника: Площа трикутника дорівнює половині твори його висоти на підставу (рисунок 6).
Зауваження: Підставою трикутника в даному випадку називають сторону, до якої проведена висота. Будь-яка з трьох сторін трикутника може служити його підставою.
Добудуємо ABC до п / г ABKC шляхом проведення через вершину B прямий BK AC. а через вершину C - прямий CK AB (рисунок 6).
ABC = KCB за трьома сторонами (BC - загальна, AB = KC і AC = KB по св-ву п / г), .
Слідство 1 (формула для обчислення площі прямокутного трикутника): Оскільки в п / у ке один з катетів є висотою, проведеної до другого катета, площа п / у -ка дорівнює половині твори його катетів (на малюнку 7).
Слідство 2: Якщо розглянути п / у ABC з висотою AH. проведеної до гіпотенузи BC. то. Таким чином, в п / у-ке висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює відношенню твори його катетів до гіпотенузи. Це співвідношення досить часто використовується при вирішенні задач.
4. Наслідки з формули для знаходження площі трикутника: ставлення площ трикутників з рівними висотами або підставами; рівновеликі трикутники в постатях; властивість площ трикутників, утворених діагоналями опуклого чотирикутника.
З формули для обчислення площі трикутника елементарним чином випливають два наслідки:
Відношення площ трикутників з рівними висотами дорівнює відношенню їх підстав (на малюнку 8).
Про
тношеніе площ трикутників з рівними підставами одно відношенню їх висот (на малюнку 9).
Зауваження: При вирішенні завдань дуже часто зустрічаються трикутники із загальною висотою. При цьому, як правило, їх підстави лежать на одній прямій, а вершина, протилежна підставах - загальна (наприклад, на малюнку 10 S1: S2: S3 = a: b: c). Слід навчитися бачити загальну висоту таких трикутників.
Також з формули для обчислення площі трикутника випливають корисні факти, що дозволяють знаходити рівновеликі трикутники в постатях:
М
едіана довільного трикутника розбиває його на два рівновеликих трикутника (на малюнку 11 у ABM і ACM висота AH - загальна, а підстави BM і CM рівні за визначенням медіани; це означає, що ABM і ACM рівновеликі).
Діагоналі паралелограма розбивають його на чотири рівновеликих трикутника (на малюнку 12 AO - медіана трикутника ABD по властивості діагоналей п / г, в силу попереднього св-ва трикутники ABO і ADO рівновеликі; тому BO - медіана трикутника ABC. Трикутники ABO і BCO рівновеликі; тому CO - медіана трикутника BCD. трикутники BCO і DCO рівновеликі; таким чином, SADO = SABO = SBCO = SDCO).
Д
іагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники; два з них, прилеглі до бічних сторонах, рівновеликі (рисунок 13).
дано: Доведення:
Проведемо висоти BF і CH (рисунок 13). Тоді у ABD і ACD підставу AD - загальна, а висоти BF і CH рівні; SABD = SACD.
SABO = SABDSAOD = SACDSAOD = SDCO.
Якщо провести діагоналі опуклого чотирикутника (рисунок 14), утворюється чотири трикутники, площі яких пов'язані дуже простим для запам'ятовування співвідношенням. Висновок цього співвідношення спирається виключно на формулу для обчислення площі трикутника; проте, в літературі воно зустрічається досить рідко. Будучи корисним при вирішенні завдань, співвідношення, яке буде сформульовано і доведено нижче, заслуговує пильної уваги:
Властивість площ трикутників, утворених діагоналями опуклого чотирикутника: Якщо діагоналі опуклого чотирикутника ABCD перетинаються в точці O. то (рисунок 14).
ABCD - опуклий чотирикутник;
5. Відношення площ трикутників, що мають по рівному кутку.
Теорема про ставлення площ трикутників, що мають по рівному кутку: Площі трикутників, що мають по рівному кутку, відносяться як твори сторін, що укладають ці кути (рисунок 15).
6. Властивість бісектриси трикутника.
З використанням теорем про ставлення площ трикутників, що мають по рівному кутку, і про ставлення площ трикутників з рівними висотами, просто доводиться виключно корисний при вирішенні задач факт, що не має безпосереднього відношення до площ фігур:
Властивість бісектриси трикутника: Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам.
A K - бісектриса ABC.
Доведення:
По теоремі про ставлення трикутників, що мають по рівному кутку,.
Оскільки AH - загальна висота трикутників ABK і ACK. .
З пунктів 1 і 2 отримуємо:, , .
Зауваження: Оскільки в вірній пропорції можна міняти місцями крайні члени або середні члени, властивість бісектриси трикутника зручніше запам'ятовувати в наступному вигляді (рисунок 16):.
7. Площа трапеції.
Формула для обчислення площі трапеції: Площа трапеції дорівнює добутку її висоти на полусумму підстав.
Слідство: Відношення площ трапецій з рівними висотами дорівнює відношенню їх середніх ліній (або відношенню сум підстав).
8. Площа чотирикутника з взаємно перпендикулярними діагоналями.
Формула для обчислення площі чотирикутника з взаємно перпендикулярними діагоналями: Площа чотирикутника з взаємно перпендикулярними діагоналями дорівнює половині твори його діагоналей.
Позначимо AC BD = O. Оскільки AC BD. AO - висота ABD. а CO - висота CBD (малюнки 18а і 18б для випадків опуклого і неопуклого чотирикутників відповідно).
(Знаки «+» або «-» відповідають випадкам опуклого і неопуклого чотирикутників відповідно).
9. Пряма і зворотна теореми Піфагора.
Теорема Піфагора грає виключно важливу роль у вирішенні найрізноманітніших завдань; вона дозволяє знаходити невідому сторону прямокутного трикутника по двом відомим його сторонам. Відомо безліч доказів теореми Піфагора. Наведемо найбільш просте з них, що спирається на формули для обчислення площ квадрата і трикутника:
Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Оскільки BC = QB = TQ = CT. CBQT - ромб. При цьому QBC = 180- (ABC + PBQ) = 180- (ABC + ACB) = BAC = 90; CBQT - квадрат, і SCBQT = BC 2.
. Отже, BC 2 = AB 2 + AC 2.
Зворотній теорема Піфагора є ознакою прямокутного трикутника, тобто дозволяє за трьома відомими сторонами трикутника перевірити, чи є він прямокутним.
Зворотній теорема Піфагора: Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник прямокутний, а його більша сторона є гіпотенузою.
Прямокутні трикутники, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, називаються піфагорових трикутниками. а трійки відповідних натуральних чисел - Числа Піфагора. Піфагорові трійки корисно пам'ятати (більше з цих чисел дорівнює сумі квадратів двох інших). Наведемо деякі піфагорові трійки:
Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, 5 використовувався в Єгипті для побудови прямих кутів, в зв'язку з чим такий трикутник називають єгипетським.
10. Формула Герона.
Формула Герона дозволяє знаходити площа довільного трикутника за трьома його відомим сторонам і є незамінною при вирішенні багатьох завдань.
Формула Герона: Площа трикутника зі сторонами a. b і c обчислюється за такою формулою:, де напівпериметр трикутника.
Нехай B - найбільший з кутів трикутника ABC (рисунок 21), тоді A і C - гострі, і основа висоти BH лежить на боці AC (а не на її продовженні).
Позначимо BH = h. AH = x. тоді CH = b-x. По теоремі Піфагора з -ков ABH і CBH отримуємо: BH 2 = AB 2 -AH 2 = BC 2 -CH 2.
З пункту 2 отримуємо:,
. Підставами отриманий вираз для x в формулу для обчислення висоти h і проведемо перетворення:
(Тут враховано, що периметр ABC вдвічі більше напівпериметр:). Тоді.
Підставами отриманий вираз для висоти в формулу для обчислення площі трикутника:.
Viii клас: Тема Площі фігур. Теорема Піфагора. Поняття площі. рівновеликі фігури