Відносини між поняттями
Визначивши обсяг поняття, можна розглянути, які відносини можуть існувати між різними їх типами.
Ставлення перехрещення (часткового збігу)
обсягів понять існує тоді і тільки тоді, коли частина обсягу одного поняття входить в обсяг іншого, і в свою чергу частина обсягу другого поняття входить в обсяг першого. Такі відносини між обсягами понять "студенти" і "спортсмени", "студенти" і "філателісти", бо ясно, що не всі студенти є спортсменами або філателістами. Зазвичай для наочного зображення відносин між обсягами понять вживаються діаграми Л. Ейлера, в яких обсяг поняття представляється колом. Оскільки у еквівалентних понять обсяги співпадають, то відношення між ними зображується одним колом. У разі часткового збігу обсягів відношення зображується перетином двох кіл. Якщо позначити обсяг одного поняття через А, іншого - через В, то графічно відносини еквівалентності (рис. 1) і перехрещення (рис. 2) можна представити відповідними діаграмами.
Ставлення субординації (підпорядкування обсягів) понять існує тоді і тільки тоді, коли обсяг одного поняття повністю входить в обсяг другого. Поняття меншого обсягу становить частину, або, точніше, вид поняття з більшим обсягом, який по відношенню до нього називають родом. На діаграмі Ейлера (рис. 3) це відношення зображується включенням меншого кола в більший.
Всі перераховані вище відносини мають місце між спільними поняттями, обсяги яких або збігаються, або перехрещуються, або складають частину іншого.
Незрівнянні (внеположенним) поняття - це поняття, обсяги яких або повністю виключають один одного, або перебувають у відношенні суперечності один одному. Так, обсяги понять "трикутник" і "рослина" не містять жодного загального елемента, їх перетин - порожньо. Те ж саме можна сказати про поняття, які вживаються в добре відомому твердженні, що характеризує непорівнянність: "У городі бузина, а в Києві дядько".
Особливий інтерес представляють поняття, обсяги яких перебувають у відношенні контрарности (противности) один одному, як, наприклад, "білий" і "чорний", "холодний", і "гарячий", "довгий" і "короткий" і т.д. які представляють собою властивості, розташовані на кордоні відповідних множин властивостей. Між "білим" і "чорним", "холодним" і "гарячим" і т.д. розташовуються проміжні властивості. В силу цього обсяги контрарних понять займають крайні положення на кругових діаграмах (рис. 4).
Ставлення контрадікторності (суперечливості) між обсягами понять існує тоді, коли вони, з одного боку, заперечують одна одну, а з іншого вичерпують обсяг цілого поняття (рис. 5).
У мові протиріччя виражається негативною часткою перед словом, що виражає властивість. Прикладами можуть служити властивості, які виражають такі поняття, як білий і не білий, холодний і не холодний, чорний і не чорний і т.п. На діаграмі (див. Рис. 5) обсяги таких понять складають дві половини кола, хоча набагато краще уявити обсяг позитивного поняття колом, а негативного - прямокутником, в який входить це коло, оскільки протилежне (негативне) поняття містить зазвичай більше число елементів (рис .6).
Оскільки обсяги понять утворюють класи (або безлічі) предметів, елементи яких мають ознаки, сформульованими в їх утриманні, то над цими класами (або множинами) можна виробляти певні логічні операції. Вони тотожні операціями, які вивчаються в теорії множин.
Об'єднанням класів (або множин) називають клас, який містить у своєму складі всі елементи, що входять в кожен окремий клас. Якщо позначити окремі класи через А1. А2, А3, ..., Аn. то об'єднане безліч можна уявити як диз'юнкцію (або роз'єднання) всіх перерахованих класів (або множин):
Наприклад, об'єднання плоских фігур буде складатися з класу трикутників, класу чотирикутників, кіл та інших фігур, клас дерев - з класів хвойних, листяних і інших дерев.
Перетином (або множенням) класів називається новий клас, який містить у своєму складі ті і тільки ті елементи, які входять в кожен з окремих класів. Інакше кажучи, він містить елементи, загальні всім окремих класах. Тому сама операція перетину класів іноді називається взяттям їх загальної частини. Позначивши окремі класи через А1. А2, А3, ..., Аn. їх перетин можна представити у вигляді:
^ А i = А1. ^ А2 ^ А3. ..., ^ Аn. де знак ^ позначає операцію перетину, множення або кон'юнкції класів.
Узагальнення і обмеження понять
Узагальнення понять нерозривно пов'язане з процесом абстрагування, в результаті чого відволікаються від тих ознак, які в ході пізнання виявляються несуттєвими, і тому опускаються. Процес обмеження пов'язаний з протилежним рухом думки, який називається конкретизацією, або точніше специфікацією. Тільки завдяки конкретизації загальні поняття можна застосовувати для дослідження окремих випадків.
Найбільш ясно узагальнення і обмеження понять простежується в математиці, причому в чистій, (теоретичної) математики переважає процес узагальнення понять, а в додатках математики їх конкретизація.
Хоча з логічної точки зору такі узагальнення понять є цілком зрозумілими і навіть очевидними, але історично нові поняття і засновані на них теорії знаходили визнання не відразу, але без боротьби думок і конфліктів. Досить лише відзначити, наприклад, з якими труднощами вчені зіткнулися при узагальненні поняття числа і введення понять ірраціональних і уявних чисел, а в недалекому минулому - понять про неевклідових просторах і нескінченних множинах. У меншою мірою конфлікти супроводжували узагальнення і введення нових понять в астрономії світу, наприклад, геліоцентричної системи світу (замість геоцентрической птолемеевой системи світу), у фізиці, біології та інших науках.