Зараз ми розберемося з тим, як виконується віднімання цілих чисел. Спочатку введемо терміни і позначення. Далі озвучимо зміст віднімання цілих чисел, від якого перейдемо до правилу, що дозволяє зводити віднімання цілих чисел до складання, і розглянемо приклади використання цього правила при відніманні цілого позитивного, цілого негативного числа і нуля. Після цього навчимося виконувати перевірку обчисленої різниці, і подивимося, що собою являє віднімання цілих чисел на координатній прямій.
Навігація по сторінці.
Терміни і позначення
Для опису віднімання цілих чисел ми будемо використовувати всі терміни і позначення, якими ми користувалися при описі віднімання натуральних чисел.
Ціле число, з якого проводиться віднімання, будемо називати зменшуваним. Ціле число, яке віднімаємо, будемо називати від'ємником. Результат віднімання будемо називати різницею.
Для позначення віднімання будемо використовувати знак мінус, який будемо мати у своєму розпорядженні між зменшуваним і віднімаються. Зменшуване, від'ємник і отриману різницю будемо записувати у вигляді рівності. Наприклад, якщо при відніманні з цілого числа a цілого числа b виходить число c. то можна записати рівність виду a-b = c. Наприклад, в рівність виду -5 - (- 43) = 38 ціле число -5 є зменшуваним, ціле число -43 - віднімаються, а 38 - різницею.
Вирази виду a-b також будемо називати різницею, як і значення цього виразу.
Далі зі змісту віднімання цілих чисел буде зрозуміло, що результат віднімання цілих чисел являє собою ціле число.
Сенс віднімання цілих чисел
Коли ми вивчали віднімання натуральних чисел, було встановлено зв'язок між складанням і відніманням. яка дозволила нам визначити віднімання як знаходження одного з доданків за відомою сумою і іншому доданку. Будемо вважати, що віднімання цілих чисел має той же сенс: по заданій сумі і одному з доданків знаходиться інше доданок (тут як не крути потрібно знати, що собою являє складання цілих чисел).
Озвучений сенс віднімання цілих чисел дозволяє нам стверджувати, що різниця c-b дорівнює a і різниця c-a дорівнює b. якщо сума a + b дорівнює c. де a. b і c - цілі числа.
Наведемо кілька прикладів для конкретики.
Нехай ми знаємо, що -4 + 9 = 5. тоді різниця 5-9 дорівнює -4. Ще приклад. Припустимо нам відомо, що сума двох цілих чисел -17 і -3 дорівнює -20. тоді віднімання з цілого числа -20 цілого числа -3 в результаті дає -17. а різниця -20 - (- 17) дорівнює -3.
Правило віднімання цілих чисел
Сенс віднімання цілих чисел, з'ясований в попередньому пункті, не дає нам способу обчислення різниці. Дійсно, на підставі сенсу віднімання цілих чисел ми лише можемо сказати, що одне з відомих доданків є результатом вирахування з їх суми іншого відомого доданка. Однак якщо одна з складових невідомо, то ми не знаємо, чому дорівнює різниця між сумою і відомим складовою. Таким чином, нам необхідно правило, що дозволяє вираховувати з одного цілого числа інше.
Наведемо формулювання правила віднімання цілих чисел. після чого наведемо його обгрунтування.
Щоб обчислити різницю двох цілих чисел, потрібно до зменшуваного додати число, протилежне вичитав, тобто, a-b = a + (- b). де a і b - цілі числа, b і -b - протилежні числа.
Доведемо озвучене правило віднімання, тобто доведемо, що значення виразу a + (- b) дорівнює різниці цілих чисел a і b. Для цього, в силу сенсу віднімання цілих чисел, потрібно додати до a + (- b) від'ємник b і переконатися, що виходить уменьшаемое a. тобто, потрібно перевірити справедливість рівності (a + (- b)) + b = a. Це нам дозволяють зробити властивості складання цілих чисел. на їх підставі ми можемо записати ланцюжок рівностей виду (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a. яка і є доказом правила віднімання цілих чисел.
Залишилося розглянути застосування правила віднімання цілих чисел при вирішенні прикладів.
Віднімання цілого позитивного числа, приклади
Віднімання рівних цілих чисел
Окремо хочеться сказати про вирахування рівних цілих чисел. Справа в тому, що якщо зменшуване і від'ємник рівні, то їх різниця дорівнює нулю. тобто, a-a = 0. де a - будь-яке ціле число.
Пояснимо останнє твердження. За правилом віднімання цілих чисел a-a = a + (- a) = 0. Тобто, відняти з цілого числа рівне йому число - це все одно, що додати до цього числа, протилежне йому число, що дає нуль.
Наведемо кілька прикладів. Різниця рівних цілих чисел -67 і -67 дорівнює нулю; якщо з 653 відняти рівне йому число 653. то ми також отримаємо 0. Нарешті, якщо від нуля відняти нуль, то ми отримаємо нуль.
Перевірка результату віднімання цілих чисел
Перевірка результату віднімання цілих чисел проводиться за допомогою додавання. Щоб перевірити, чи правильно було проведено віднімання цілих чисел, потрібно до отриманої різниці додати від'ємник, при цьому повинно вийти зменшуване.
Від цілого негативного числа -303 було відібрано ціле негативне число -255. і була отримана різниця -47. Чи правильно виконано віднімання?
Виконаємо перевірку. Для цього до різниці додамо від'ємник: -47 + (- 255) = - 302. Так як ми отримали число, відмінне від зменшуваного -303. при відніманні цілих чисел десь була допущена помилка.
Віднімання цілих чисел на координатній прямій
Залишилося з'ясувати геометричний сенс віднімання цілих чисел. У цьому нам допоможе координатна пряма. розташуємо її горизонтально і направимо вправо.
У попередніх пунктах ми дізналися, що віднімання з цілого числа a цілого числа b - це додаток до числа a числа -b. тобто, a-b = a + (- b). Таким чином, геометричний сенс віднімання цілих чисел a і b збігається з геометричним змістом складання цілих чисел a і -b.
Звідси випливає, що при відніманні з цілого числа a цілого числа b потрібно:- переміститися з точки з координатою a на b одиничних відрізків вліво, якщо b - позитивне число;
- переміститися з точки з координатою a на (- це модуль числа b) одиничних відрізків вправо, якщо b - негативне число;
- залишитися в точці з координатою a. якщо b = 0.
Наведемо приклади і графічні ілюстрації.
Віднімемо на координатної прямої з цілого числа -2 ціле позитивне число 2. Для цього з точки з координатою -2 потрібно переміститися вліво на 2 одиничних відрізка. При цьому ми потрапимо в точку з координатою -4. тобто, -2-2 = -4.
Тепер покажемо на координатної прямий як проводиться віднімання з цілого числа 2 цілого негативного числа -3. Ми з точки з координатою 2 переміщаємося вправо на одиничних відрізка, в результаті чого потрапляємо в точку з координатою 5. Таким чином, ми проілюстрували рівність 2 - (- 3) = 5.
- Виленкин Н.Я. та ін. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ.