не має рішень в цілих ненульових числах a. b. c.
Зустрічається більш вузький варіант формулювання, який стверджує, що це рівняння не має натуральних рішень. Однак очевидно, що якщо існує рішення для цілих чисел, то існує і рішення в натуральних числах. Справді, нехай a. b. c - цілі числа, що дають рішення рівняння Ферма. Якщо n парне, то | a |. | b |. | c | теж будуть рішенням, а якщо непарній, то перенесемо всі ступені негативних значень в іншу частину рівняння, змінивши знак. Наприклад, якби існувало рішення рівняння a 3 + b 3 = c 3 + b ^ = c ^> і при цьому a негативно, а інші позитивні, то b 3 = c 3 + (| - a |) 3 = c ^ + (| -a |) ^>. і отримуємо натуральні рішення c. | a |. b. Тому обидві формулювання еквівалентні.
Узагальненнями затвердження теореми Ферма є спростована гіпотеза Ейлера і відкрита гіпотеза Ландера - Паркина - Селфрідж.
Для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести ал-Ходжанді. але його доказ не збереглося.
У загальному вигляді теорема була сформульована П'єром Ферма в 1637 році на полях «Арифметики» Діофанта. Справа в тому, що Ферма робив свої позначки на полях читаються математичних трактатів і там же формулював прийшли на розум завдання і теореми. Теорему, про яку ведеться мова, він записав з припискою, що знайдене ним дотепне доведення цієї теореми надто довге, щоб його можна було помістити на полях книги:
Навпаки, неможливо розкласти куб на два куба, біквадрат на два біквадрата і взагалі ніяку ступінь, велику квадрата, на два ступені з тим же показником. Я знайшов цьому воістину чудесний доказ, але поля книги занадто вузькі для нього.
Оригінальний текст (лат.)
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Над повним доказом Великої теореми працювало чимало видатних математиків і безліч дилетантів-аматорів; вважається, що теорема стоїть на першому місці за кількістю некоректних «доказів». Проте ці зусилля призвели до отримання багатьох важливих результатів сучасної теорії чисел. Давид Гільберт в своїй доповіді «Математичні проблеми» на II Міжнародному конгресі математиків (1900) зазначив, що пошук докази для цієї, здавалося б, малозначимой теореми, привів до таких глибоким результатами в теорії чисел [5]. У 1908 році німецький любитель математики Вольфскель заповідав 100 тис. Німецьких марок тому, хто доведе теорему Ферма. Однак після Першої світової війни премія знецінилася.
У 1980-х роках з'явився новий підхід до вирішення проблеми. З гіпотези Морделла. доведеною Герд Фалтінгс в 1983 році. випливає, що рівняння a n + b n = c n + b ^ = c ^> при n> 3 може мати лише кінцеве число взаємно простих рішень.
Німецький математик Герхард Фрай припустив, що Велика теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями - Сімура. Це припущення було доведено Кеном Рібет [6].
Колін Мак-Ларт зазначив, що, можливо, доказ Уайлса вдасться спростити, щоб не припускати існування так званих «великих кардиналів» [11] [12].
Деякі варіації і узагальнення
Одна з гіпотез. висунутих Ейлером Бонапарт (1769 рік), стверджувала, що рівняння a 4 + b 4 + c 4 = d 4 + b ^ + c ^ = d ^> не має натуральних рішень a. b. c. d. Тільки в наші дні, за допомогою потужних комп'ютерів, вдалося знайти контрприклади, які спростовують гіпотезу. У 1988 році Ноам Елкіс [en] виявив наступне рішення [13]:
2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4. + 15365639 ^ + 18796760 ^ = 20615673 ^.>
Пізніше були знайдені й інші рішення; найпростіше з них:
95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4. + 217519 ^ + 414560 ^ = 422481 ^.>
Простота формулювання теореми Ферма (доступна в розумінні навіть школяреві), а також складність єдиного відомого докази (або незнання про його існування), надихають багатьох на спроби знайти інше, більш просте, доказ. Людей, які намагаються довести теорему Ферма елементарними методами, називають «ферматістов» або «ферматікамі». [14] ферматістов часто не володіють основами математичної культури і допускають помилки в арифметичних діях або логічних висновках. хоча деякі представляють досить витончені «докази», в яких важко знайти помилку.
Доводити теорему Ферма в середовищі любителів математики було настільки популярно, що в 1972 році журнал «Квант». публікуючи статтю про теорему Ферма, супроводжував її наступною припискою [14]. «Редакція" Кванта "зі свого боку вважає за необхідне повідомити читачів, що листи з проектами доказів теореми Ферма розглядатися (і повертатися) не будуть.»
Німецькому математику Едмунду Ландау дуже докучали «ферматістов». Щоб не відволікатися від основної роботи, він замовив кілька сот бланків з шаблонним текстом, який повідомляє, що на певній рядку на деякій сторінці знаходиться помилка, при цьому знаходити помилку і заповнювати прогалини в бланку він доручав своїм аспірантам.
Теорема Ферма в культурі і мистецтві
Велика теорема Ферма стала символом запеклій наукової проблеми і в цій якості часто згадується в белетристиці. Далі перераховані деякі твори, в яких теорема не просто згадана, але є істотною частиною сюжету або ідеології твори.
Проблема докази цієї нерозв'язності являє разючий приклад того, яке спонукає вплив на науку може надати спеціальна і на перший погляд незначна проблема. Бо, побуждённий завданням Ферма, Куммер прийшов до введення ідеальних чисел і до відкриття теореми про однозначне розкладанні чисел в кругових полях на ідеальні прості множники - теореми, яка тепер, завдяки узагальнень на будь-яку алгебраїчну числову область, отриманим Дедекіндом і Кронекером. є центральною в сучасній теорії чисел і значення якої виходить далеко за межі теорії чисел в область алгебри і теорії функцій.