Завдання 14. Дана правильна шестикутна призма, довжини всіх ребер якої рівні 1.
а) Побудуйте переріз, що проходять через два протилежних ребра підстав призми.
б) Знайдіть площу перерізу.
а) Два протилежних ребра правильної шестикутної призми, це, наприклад, ребра BC і. Перетин, проведене через ці ребра, буде являти собою шестикутник, що проходить через точки M і N, що лежать на серединах відрізків і відповідно (див. Малюнок).
б) Припустимо, що кут між перетином і підставою призми дорівнює. Тоді можна записати наступне рівність
де - площа підстави призми; - площа шуканого перетину. З цієї формули виразимо площу перетину, отримаємо:
Знайдемо з прямокутного трикутника BFF1 як відношення прилеглого катета BF до гіпотенузи BF1. Знайдемо сторону BF з трикутника ABF. У цього трикутника кут A дорівнює 120 градусів. Сторони AB і AF рівні 1. Тоді за теоремою косинусів маємо:
Тепер розглянемо прямокутний трикутник і обчислимо сторону по теоремі Піфагора:
Таким чином, косинус кута між площинами, дорівнює
Тепер обчислимо площа підстави призми. Так як підстава є правильним шестикутником, то його можна розбити на 6 рівносторонніх трикутників, сторони яких будуть рівні 1 (так як всі грані підстави рівні 1). Як відомо, площа рівностороннього трикутника дорівнює і при a = 1 маємо. Тоді площа шестикутника дорівнює
Нарешті, площа перетину буде дорівнює