Формулювання завдання: У всіх під'їздах будинку однакове число поверхів, а на кожному поверсі однакове число квартир. При цьому число поверхів у будинку більше числа квартир на поверсі, число квартир на поверсі більше числа під'їздів, а число під'їздів більше одного. Скільки поверхів у будинку, якщо все в ньому N квартир?
Питання про квартири і будинки входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу під номером 20 (Завдання на кмітливість).
Розглянемо, як вирішуються подібні завдання на прикладі.
У всіх під'їздах будинку однакове число поверхів, а на кожному поверсі однакове число квартир. При цьому число поверхів у будинку більше числа квартир на поверсі, число квартир на поверсі більше числа під'їздів, а число під'їздів більше одного. Скільки поверхів у будинку, якщо все в ньому 110 квартир?
Для зручності позначимо буквами кількість під'їздів (A), кількість поверхів (B) і кількість квартир на поверсі (C). Вони співвідносяться наступним чином:
B> C> A> 1 (1)
Оскільки число поверхів у всіх під'їздах однаково і число квартир на всіх поверхах однаково, кількість всіх квартир в будинку можна записати за допомогою рівності:
Тобто, ми беремо число квартир на поверсі, множимо їх на кількість поверхів і множимо все це на кількість під'їздів.
Залишилося лише знайти A, B і C. Найпростіше це буде зробити розкладанням числа всіх квартир на прості множники.
Ми отримали рівно 3 множника, скільки нам і потрібно. Множником є і одиниця, однак по співвідношенню (1) жодне з кількостей не може дорівнювати одному. Використовуючи дане співвідношення, можна зробити висновок, що кількість під'їздів A = 2, кількість поверхів B = 11 і кількість квартир на поверсі C = 5.