Теорема Піфагора

Повернемося до нашого прямокутника, який ми почали розглядати в попередній статті. Нас цікавить співвідношення довжин сторін прямокутника і довжин діагоналі. тобто ми вирішуємо ту ж задачу, що і

Теорема Піфагора
грецькі математики в давнину. Оскільки прямокутник поділяється діагоналлю на дві абсолютно симетричні частини, ми можемо спростити завдання і відкинути одну половину фігури, припустимо, ліву. У нас залишився так званий прямокутний трикутник.







Ще за багато століть до наших днів єгиптяни на основі практичного досвіду встановили, що якщо одна сторона прямокутного трикутника дорівнює 3 одиницям, а інша - 4 одиницям, то довжина гіпотенузи складе 5 одиниць. У цьому випадку співвідношення гіпотенузи і однієї зі сторін дорівнює $ \ frac54 $ для більш довгої сторони і 5 $ \ frac53 $ для коротшою.

Греки підійшли до завдання з більш загальних позицій. Їм важливо було знайти закономірність, тобто співвідношення довжин сторін прямокутника і довжин діагоналі для будь-якого прямокутного трикутника.

Як свідчить історія, великий грецький математик Піфагор таку закономірність відкрив. Він встановив, що для будь-якого прямокутного трикутника вірно наступне твердження:

сума квадратів сторін дорівнює квадрату гіпотенузи.







Це твердження отримало назву теореми Піфагора. Теорема досі носить ім'я великого грека, хоча тепер ми знаємо, що ще за 600 років до Піфагора древнім китайцям вже було відомо це співвідношення.

Перевіримо теорему для трикутника зі сторонами 3 і 4. Квадрат однієї зі сторін дорівнює 3 × 3 = 9, квадрат іншого боку дорівнює 4х4 = 16. Сума квадратів дорівнює: 9 + 16 = 25, тобто квадрат гіпотенузи дорівнює 25, отже, гіпотенуза дорівнює 5.

Розглянемо інший трикутник зі сторонами 5 і 12.

Теорема Піфагора
Сума квадратів сторін цього трикутника дорівнює 5х5 + 12х12 = 25 + 144 = 169. Отже, 169 - це квадрат гіпотенузи. Тоді гіпотенуза дорівнює $ \ sqrt $, або 13 оскільки 13х13 = 169.

Для цього трикутника співвідношення гіпотенузи до сторони дорівнює $ \ frac $ для короткої сторони і $ \ frac $ для довгої сторони.

Використовуючи теорему Піфагора. можна знайти співвідношення гіпотенузи і будь-яка сторона будь-якого прямокутного трикутника. Математики Стародавньої Греції могли зітхнути спокійно, завдання було вирішено. Найголовніше полягало в тому, що теорема поширювалася на всі прямокутні трикутники, в тому числі, зрозуміло, і на рівносторонні, тобто на прямокутні трикутники, у яких обидві сторони рівні. А нас зараз цікавлять саме такі трикутники.
Один з них представлений на малюнку зліва

Теорема Піфагора
.

Максимально спростимо задачу і припустимо, що сторони трикутника рівні 1. Тоді квадрат сторони дорівнює 1х1, а сума квадратів сторін дорівнює 1х1 + 1х1 = 2. Згідно з теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює 2, а гіпотенуза дорівнює відповідно $ \ sqrt $.

Матеріали по темі:

Поділитися з друзями:







Схожі статті