ЄДІ на 4? А чи не лопнеш від щастя?
Питання, як то кажуть, цікавий. Можна, можна здати на 4! І при цьому не луснути. Головна умова - займатися регулярно. Тут - основна підготовка до ЄДІ з математики. З усіма секретами і таємницями ЄДІ, про які Ви не прочитаєте в підручниках. Вивчайте цей розділ, вирішуйте більше завдань з різних джерел - і все вийде! Передбачається, що базовий розділ ", С тебе і трійки вистачить!", У вас утруднень не викликає. Але якщо раптом. За ссилочку-то ходите, не лінуйтеся!
І почнемо ми з великою і жахливою теми.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно не дуже.
І для тих, хто дуже навіть. )
Ця тема доставляє масу проблем учням. Вважається однією з найсуворіших. Що таке синус і косинус? Що таке тангенс і котангенс? Що таке числова окружність? Варто задати ці нешкідливі питання, як людина блідне і намагається відвести розмову в бік ... А даремно. Це прості поняття. І нічим ця тема не складніше інших. Просто потрібно з самого початку чітко усвідомити відповіді на ці самі питання. Це дуже важливо. Якщо усвідомили - тригонометрія вам сподобається. Отже,
Що таке синус і косинус? Що таке тангенс і котангенс?
Почнемо з глибокої давнини. Не хвилюйтеся, все 20 століть тригонометрії ми пройдемо хвилин за 15. І, непомітно для себе, повторимо шматочок геометрії з 8 класу.
Намалюємо прямокутний трикутник зі сторонами а, в, з і кутом х. Ось такий.
Нагадаю, що сторони, які утворюють прямий кут, називаються катетами. а й в - катети. Їх два. Частина, що залишилася сторона називається гіпотенузою. с - гіпотенуза.
Трикутник і трикутник, подумаєш! Що з ним робити? А ось стародавні люди знали, що робити! Повторимо їх дії. Виміряємо сторону в. На малюнку спеціально клітинки намальовані, як у завданнях ЄДІ буває. Сторона в дорівнює чотирьом клітинам. Гаразд. Виміряємо сторону а. Три клітини.
А тепер поділимо довжину сторони а на довжину сторони в. Або, як ще кажуть, візьмемо відношення а до ст. а / в = 3/4.
Можна навпаки, поділити в на а. Отримаємо 4/3. Можна в поділити на с. Гіпотенузу с по клітинках не злічити, але вона дорівнює 5. Отримаємо в / с = 4/5. Коротше, можна ділити довжини сторін одна на одну і отримувати якісь числа.
Ну і що? Який сенс в цьому цікавому занятті? Поки ніякого. Безглузде заняття, прямо скажемо.)
А тепер зробимо ось що. Збільшимо трикутник. Продовжимо боку в і с. але так, щоб трикутник залишився прямокутним. Кут х. природно, не змінюється. Щоб це побачити, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться її (якщо у вас - планшет). Сторони а, в і з перетворяться в m, n, k. і, ясна річ, довжини сторін зміняться.
А ось їхні стосунки - ні!
Ставлення а / в було: а / в = 3/4, стало m / n = 6/8 = 3/4. Відносини інших відповідних сторін також не зміняться. Можна як завгодно змінювати довжини сторін в прямокутному трикутнику, збільшувати, зменшувати, не змінюючи кута х - відносини відповідних сторін не зміняться. Можна перевірити, а можна повірити стародавнім людям на слово.
А ось це вже дуже важливо! Відносини сторін в прямокутному трикутнику ніяк не залежать від довжин сторін (при одному і тому ж вугіллі). Це настільки важливо, що відносини сторін заслужили свої спеціальні назви. Свої імена, так би мовити.) Знайомтеся.
Що таке синус кута х. Це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
Що таке косинус кута х. Це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
Що таке тангенс кута х. Це відношення протилежного катета до прилеглого:
Що таке котангенс кута х. Це відношення прилеглого катета до протилежного:
Все дуже просто. Синус, косинус, тангенс і котангенс - це деякі числа. Безрозмірні. Просто числа. Для кожного кута - свої.
Навіщо я так занудно все повторюю? Потім, що це треба запам'ятати. Залізно запам'ятати. Запам'ятовування можна полегшити. Фраза «Почнемо здалеку ...» знайома? Ось і починайте здалеку.
Синус кута - це відношення далекого від кута катета до гіпотенузи. Косинус - відношення ближнього до гіпотенузи.
Тангенс кута - це відношення далекого від кута катета до ближнього. Котангенс - навпаки.
Вже простіше, правда?
Ну а якщо запам'ятати, що в тангенс і котангенс сидять тільки катети, а в синусі і косинусів гіпотенуза з'являється, то все стане зовсім просто.
Можна ще порахувати відносини гіпотенузи до катетам. Ці відносини називаються секанс і косеканс. Але вони в шкільному курсі не розглядаються. І ми не будемо. На радість учням.)
Всю цю славну сімейку - синус, косинус, тангенс і котангенс називають ще тригонометричними функціями.
А тепер питання на міркування.
Чому ми говоримо синус, косинус, тангенс і котангенс кута? Мова-то йде про відносини сторін, на кшталт. При чому тут кут?
Дивимося на другу картинку. Точно таку ж, як і перша.
Наведіть мишку на картинку. Я змінив кут х. Збільшив його з х до Х. Всі відносини змінилися! Ставлення а / в було 3/4, а відповідне ставлення t / в стало 6/4.
І всі інші відносини стали іншими!
Стало бути, відносини сторін ніяк не залежать від їх довжин (при одному куті х), але різко залежать від цього самого кута! І тільки від нього. Тому терміни синус, косинус, тангенс і котангенс відносяться до кута. Кут тут - головний.
Треба залізно усвідомити, що кут нерозривно пов'язаний зі своїми тригонометричними функціями. У кожного кута є свій синус і косинус. І майже у кожного - свій тангенс і котангенс. Це важливо. Вважається, що якщо нам дано кут, то його синус, косинус, тангенс і котангенс нам відомі. І навпаки. Дан синус, або будь-яка інша тригонометрическая функція - значить, ми знаємо кут.
Існують спеціальні таблиці, де для кожного кута розписані його тригонометричні функції. Таблиці Брадіса називаються. Вони дуже давно складені. Коли ще не було ні калькуляторів, ні комп'ютерів.
Звичайно, тригонометричні функції всіх кутів запам'ятати не можна. Ви зобов'язані знати їх тільки для декількох кутів, про це далі буде. Але заклинання «знаю кут - значить, знаю його тригонометричні функції» - працює завжди!
Ось ми і повторили шматочок геометрії з 8-го класу. Воно нам треба для ЄДІ? Треба. Ось вам типова задачка з ЄДІ. Для вирішення якої досить 8-го класу. Дана картинка:
Усе. Більше ніяких даних немає. Треба знайти довжину катета ВС.
Клітини слабо допомагають, трикутник якось неправильно розташований. Спеціально, мабуть ... З інформації є довжина гіпотенузи. 8 клітин. Ще для чогось дан кут.
Ось тут треба відразу згадувати про тригонометрію. Є кут, значить, ми знаємо всі його тригонометричні функції. Яку функцію з чотирьох в справу пустити? А подивимося-ка, що нам відомо? Нам відомі гіпотенуза, кут, а знайти треба прилегла до цього кутку катет! Ясно справа, косинус потрібно в справу запускати! Ось і запускаємо. Просто пишемо, за визначенням косинуса (відношення прилеглого катета до гіпотенузи):
Кут С у нас 60 градусів, його косинус дорівнює 1/2. Це знати треба, без жодних таблиць! Стало бути:
Елементарне лінійне рівняння. Невідоме - ВС. Хто призабув, як розв'язувати рівняння. прогуляйтеся по посиланню, інші вирішують:
Це і є правильна відповідь.
Можна вважати, що один первинний бал за завдання ", В", - в кишені! Але одного бала мало, правда?) Має сенс продовжити спогади про геометрії 8-го класу.
Коли древні люди зрозуміли, що при кожному розі є свій комплект тригонометричних функцій, у них виникло резонне питання. А чи не пов'язані як-небудь синус, косинус, тангенс і котангенс між собою? Так, щоб знаючи одну функцію кута, можна було знайти інші? Не вважаючи сам кут?
Ось такі вони були невгамовні. )
Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута.
Звичайно, синус, косинус, тангенс і котангенс одного і того ж кута пов'язані між собою. Будь-який зв'язок між виразами задається в математиці формулами. У тригонометрії формул - колосальна кількість. Але тут ми розглянемо найосновніші. Ці формули так і називаються: основні тригонометричні тотожності. Ось вони:
Ці формули треба знати залізно. Без них взагалі в тригонометрії робити нічого. З цих основних тотожностей випливають ще три допоміжних тотожності:
Відразу попереджаю, що три останні формули швидко випадають з пам'яті. Чомусь.) Можна, звичайно, вивести ці формули з перших трьох. Але, в скрутну хвилину. Самі розумієте.)
У стандартних завданнях, типу тих, що наведені нижче, є спосіб обійтися без цих не запам'ятовуються формул. І різко зменшити помилки через забудькуватість, та й в обчисленнях теж. Цей практичний прийом - в Розділі 555, урок Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута.
У яких завданнях і як використовуються основні тригонометричні тотожності? Найпопулярніше завдання - знайти якусь функцію кута, якщо дана інша. В ЄДІ таке завдання з року в рік присутня.) Наприклад:
Знайти значення sinx, якщо х - гострий кут, а cosx = 0,8.
Завдання майже елементарна. Шукаємо формулу, де є синус і косинус. Ось вона ця формула:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Підставляємо сюди відому величину, а саме, 0,8 замість косинуса:
sin 2 x + 0,8 2 = 1
Ну і вважаємо, як зазвичай:
sin 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
Ось, практично і все. Ми вирахували квадрат синуса, залишилося витягти квадратний корінь і відповідь готовий! Корінь з 0,36 буде 0,6.
Завдання майже елементарна. Але слівце ", майже", тут не дарма стоїть. Справа в тому, що відповідь sinx = - 0,6 теж підходить. (-0,6) 2 теж 0,36 буде.
Два різних відповіді виходять. А потрібен один. Другий - неправильний. Як бути. Так як зазвичай.) Уважно прочитати завдання. Там чомусь написано. якщо х - гострий кут. А в завданнях кожне слово сенс має, так. Ця фраза - і є додаткова інформація до вирішення.
Гострий кут - це кут менше 90deg. А у таких кутів все тригонометричні функції - і синус, і косинус, і тангенс з котангенсом - позитивні. Тобто негативну відповідь ми тут просто відкидаємо. Маємо право.
Власне, восьмикласникам такі тонкощі не потрібні. Вони працюють тільки з прямокутними трикутниками, де кути можуть бути тільки гострі. І не знають, щасливі, що бувають і негативні кути, і кути в 1000deg. І у всіх цих жахливих кутів є свої тригонометричні функції і з плюсом, і з мінусом.
А ось старшокласникам без урахування знака - ніяк. Багато знання примножують печалі, так. ) І для правильного вирішення в завданні обов'язково присутня додаткова інформація (якщо вона необхідна). Наприклад, вона може бути дана таким записом:
Або як-небудь інакше. У прикладах нижче побачите.) Для вирішення таких прикладів потрібно знати, в яку чверть потрапляє заданий кут х і який знак має потрібна тригонометрическая функція в цій чверті.
Отже, відзначимо найголовніше:
1. Запам'ятайте визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Дуже стане в нагоді.
2. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс міцно пов'язані з кутами. Знаємо одне - значить, знаємо й інше.
3. Чітко засвоюємо: синус, косинус, тангенс і котангенс одного кута пов'язані між собою основними тригонометричними тотожністю. Знаємо одну функцію - значить, можемо (при наявності необхідної додаткової інформації) обчислити всі інші.
А тепер повирішуємо, як водиться. Спочатку завдання в обсязі 8-го класу. Але і старшокласникам теж можна. )
1. Обчислити значення tgА, якщо ctgА = 0,4.
2. beta, - кут в прямокутному трикутнику. Знайти значення tgbeta. якщо sinbeta, = 12/13.
3. Визначити синус гострого кута х, якщо tgх = 4/3.
4. Знайти значення виразу:
6sin 2 5deg, - 3 + 6cos 2 5deg,
5. Знайти значення виразу:
(1-cosx) (1 + cosx), якщо sinх = 0,3
Відповіді (через крапку з комою, в безладді):
Вийшло? Відмінно! Восьмикласники можуть вже пройти за своїми п'ятірками.)
Чи не все вийшло? Завдання 2 і 3 якось не дуже. Не біда! Є один гарний прийом для подібних завдань. Все вирішується, практично, взагалі без формул! Ну і, отже, без помилок. Цей прийом в уроці: Зв'язок між тригонометричними функціями одного кута в Розділі 555 описаний. Там же розібрані і всі інші завдання.
Це були завдання типу ЄДІ, але в урізаному варіанті. Єдиний державний іспит - лайт). А зараз майже такі ж завдання, але в повноцінному егешном вигляді. Для обтяжених знаннями старшокласників.)
6. Знайти значення tgbeta. якщо sinbeta, = 12/13, а
7. Визначити sinх, якщо tgх = 4/3, а х належить інтервалу (- 540deg. - 450deg,).
8. Знайти значення виразу sinbeta, middot, cosbeta. якщо ctgbeta, = 1.
Відповіді (в безладді):
Тут в завданні 6 кут заданий якось не дуже однозначно. А в задачі 8 і зовсім не заданий! Це спеціально). Додаткова інформація не тільки з завдання береться, але і з голови.) Зате вже якщо вирішили - один вірний завдання гарантовано!
А якщо не вирішили? Гм. Ну, тут Розділ 555 допоможе. Там вирішення всіх цих завдань детально розписані, важко не розібратися.
У цьому уроці дано дуже обмежене поняття тригонометричних функцій. В межах 8-го класу. А у старших залишаються питання.
Наприклад, якщо кут х (дивіться другу картинку на цій сторінці) - зробити тупим. Трикутник-то взагалі розвалиться! І як бути? Ні катета не буде, ні гіпотенузи. Пропав синус.
Якби древні люди не знайшли вихід з цього становища, не було б у нас зараз ні мобільників, ні TV, ні електрики. Так Так! Теоретична основа всіх цих речей без тригонометричних функцій - нуль без палички. Але стародавні люди не підвели. Як вони викрутилися - в наступному уроці.
Наступна сторінка: Тригонометричний коло. Одиничне коло. Числова окружність. Що це таке?
Якщо Вам подобається цей сайт.
До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)
Ось тут можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)
А ось тут можна познайомитися з функціями і похідними.