Розглянемо тепер схему навантаження НЕ стрижня, а досить довжиною пластини, вузької прямокутної смуги, зображеної на Ріс.12.1.
Така схема означає, що пластина під навантаженням не рухається у напрямку навантаження. Отже, ця пластина закріплена по вертикалі деяким чином, як стрижень. Але вона здатна згинатися з її площини - шарнірно, як консоль або інакше. Шарніри на вертикальних краях і означають здатність пластини згинатися з її площини. А це вже завдання пружною стійкості.
Набагато більш докладно стійкість смуги довільного профілю, при довільної конфігурації поперечного перерізу, званої зазвичай відкритим «тонкостінних стрижнем», описана в роботах академіка Власова В.З. Вольмір А.С. та інших книгах. Вам же корисно ознайомитися з цим явищем за навчальним посібником [6].
Ми ж найбільш коротко опишемо тут цю картину найпримітивнішим чином, виходячи з теорії вигину плоского тонкостенного стрижнів. Спочатку опишемо її докритичний стан, вважаючи пластину стрижнем.
Тут може бути застосована теорія вигину стрижнів, заснована на гіпотезі плоских перетинів, що враховує не тільки вигин пластини в її площині, а й її зрушення
Вигин описується відомими співвідношеннями вигину балки
А її зрушення - формулами
Таким чином, рівняння вигину зі зрушенням
Закритичних стан смуги представлено на Ріс.12.2.
Вектор згинального моменту проектується на площину зігнутої пластини, викликаючи її кручення моментом
і вигин моментом
Позначимо згинальну жорсткість з площини зігнутої пластини. а в її площині. де момент інерції Тут - товщина стінки профілю.
Тоді маємо два рівняння: вигину і крутіння
Якщо жорсткості пластини по довжині постійні, то постійні і коефіцієнти, і ми зводимо систему рівнянь до одного. маємо
Ці залежності дозволяють шукати або прогин або кут зсуву
В одному варіанті
Це рівняння стійкості плоскої форми вигину довгою смуги. Їх рішення повинні задовольняти однорідним граничним умовам на кінцях стрижнів
для першого варіанту
для другого варіанту
При змінних коефіцієнтах для побудови наближених рішень варіаційними методами використовуються вирази збільшення енергії за рахунок вигину кручення
Повна енергія балки - це функціонал
Її приріст (формула даються без виведення)
Вирази (9) при пошуку рішення в формі ряду, наприклад,
шляхом прямої мінімізації функціоналу за методом Рітца призводить до системи
де коефіцієнти визначаються за формулами
Ці самі висловлювання дає і узагальнений метод Бубнова-Гальоркіна. Якщо підпорядкувати все не тільки геометричним, але всім граничним умовам задачі, то вирази для коефіцієнтів можуть бути записані інакше
Якщо стрижень являє собою не смугу, а двутавровую балку, то вирази для коефіцієнтів
де - згинальна жорсткість полки в своїй площині, - товщина стінки.
Рішення шукаємо в формі ряду
Тоді для рівняння (8) отримуємо