зав. кафедрою математики ДВГГУ
Системи ірраціональних, логарифмічних і показових рівнянь
Традиційно в контрольні вимірювальні матеріали для проведення єдиного державного іспиту з математики включаються завдання дозволяють перевірити вміння випускників вирішувати різні системи рівнянь. Як правило, це системи з двох рівнянь з двома змінними. Рівняння, що входять в систему можуть бути як алгебраїчними, в тому числі ірраціональними, так і трансцендентними. В рамках цієї статті розглянемо основні методи вирішення систем з двома змінними ірраціональних, логарифмічних і показових рівнянь.
Перш ніж безпосередньо переходити до методів рішення систем рівнянь нагадаємо основні визначення і властивості різних функцій, які можуть входити в рівняння системи.
Нагадаємо, що два рівняння з двома невідомими утворюють систему рівнянь. якщо ставиться завдання про знаходження таких значень змінних, які є рішеннями кожного з рівнянь.
Рішенням системи двох рівнянь з двома невідомими називається впорядкована пара чисел. при підстановці яких в систему замість відповідних змінних, виходять вірні числові рівності.
Вирішити систему рівнянь - означає знайти всі її рішення.
Процес рішення системи рівнянь, як і процес вирішення рівняння, полягає в послідовному переході за допомогою деяких перетворень від даної системи до більш простий. Зазвичай користуються перетвореннями, які призводять до равносильной системі, в цьому випадку не потрібно перевірка знайдених рішень. Якщо ж були використані нерівносильні перетворення, то обов'язкова перевірка знайдених рішень.
Ірраціональними називають рівняння, в яких змінна втримується під знаком кореня або під знаком операції введення в дробовий ступінь.
Варто зазначити, що
1. Всі коріння парного степеня, що входять в рівняння, є арифметичними. Іншими словами, якщо подкоренное вираз негативно, то корінь позбавлений сенсу; якщо подкоренное вираз дорівнює нулю, то корінь також дорівнює нулю; якщо подкоренное вираз позитивно, то і значення кореня позитивно.
2. Всі коріння непарного степеня, що входять в рівняння, визначені при будь-якому дійсному значенні подкоренного вираження. При цьому корінь негативний, якщо підкореневий вираз негативно; дорівнює нулю, якщо подкоренное вираз дорівнює нулю; позитивний, якщо подкоренное вираз позитивно.
Функції y = і y = є зростаючими на своїй області визначення.
При вирішенні систем ірраціональних рівнянь використовуються два основні методи: 1) зведення обох частин рівнянь в одну й ту ж саму ступінь; 2) введення нових змінних.
При вирішенні систем ірраціональних рівнянь першим методом слід пам'ятати, що при піднесенні обох частин рівняння, що містить коріння парного степеня, в одну й ту ж саму ступінь, виходить рівняння, яке є наслідком первинного, в зв'язку з цим, в процесі рішення можуть з'явитися сторонні корені. При вирішенні ірраціональних рівнянь часто використовується формула = f (x). застосування якої в разі парного n може привести до розширення області визначення рівняння. За цим (та з інших) причин при вирішенні ірраціональних рівнянь в більшості випадків необхідна перевірка знайдених рішень.
Розглянемо приклади розв'язання систем ірраціональних рівнянь різними методами.
Приклад 1. Вирішити систему рівнянь
Рішення. Щоб позбутися від ірраціональності введемо нові змінні. Нехай ........................... (1),
тоді первісна система набуде вигляду:. Вирішуючи отриману систему, наприклад методом підстановки знаходимо:. Підставами знайдені значення в систему (1), отримаємо:. Звівши обидві частини першого рівняння в квадрат, другого - в четверту ступінь, отримаємо систему:, звідки знаходимо:
Неважко переконатися в тому, що знайдене рішення останньої системи є рішенням вихідної системи.
Приклад 2. Вирішити систему рівнянь
Рішення. 1. З другого рівняння системи маємо:. Підставами в перше рівняння системи замість праву частину рівності, отримаємо: або ........................... .. (2). Введемо нову змінну: покладемо ......................... (3) і підставимо в рівняння (2), отримаємо квадратне рівняння від змінної:. Знаходимо корені цього рівняння, наприклад, по теоремі Вієта:. Корінь є стороннім, так як через позначили арифметичний корінь. Підставами, в (3), отримаємо. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат і висловимо:.
Підставами, отриманий вираз у друге рівняння початкової системи:. Зведемо обидві частини отриманого рівняння в квадрат, при цьому, щоб не розширити область допустимих значень отриманого рівняння, будемо вимагати, щоб .................................... (4).
В силу (4) корінь є стороннім.
Знайдемо значення у при:.
Неважко переконатися в тому, що пара (0; 4) є рішенням початкової системи рівнянь.
Приклад 3. Вирішити систему рівнянь:
Рішення. 1. Зауважимо, що права частина першого рівняння повинна бути неотрицательной, т. Е..
2. Зведемо обидві частини першого рівняння в квадрат, отримаємо рівняння:. Тоді система набуде вигляду:. З першого рівняння системи знаходимо значення. Підставами їх в друге рівняння і знайдемо значення змінної:
.Так як знайдені значення не задовольняють нерівності, пара (10; 5) не є рішенням початкової системи.
.Ця пара значень задовольняє нерівності. Неважко переконатися в тому, що знайдена пара чисел є рішенням початкової системи.
Для успішного вирішення показових і логарифмічних систем рівнянь, згадаємо визначення і властивості логарифма.
Логарифмом чіслаbпо основи а, називається показник ступеня, в яку потрібно звести число а, щоб отримати чіслоb.
Основні властивості логарифмів:
Перелічимо основні властивості показовою і логарифмічною функцій:
1) Область визначення функції, де - все безліч дійсних чисел; функції, де - безліч позитивних дійсних чисел.
2) Безліч значень функції - безліч позитивних дійсних чисел; функції - все безліч дійсних чисел.
3) Проміжки монотонності: якщо обидві функції зростають; якщо - обидві функції зменшуються.
Зауваження. Згідно з другим властивістю, при вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно або з'ясовувати область допустимих значень рівняння, або після рішення робити перевірку.
Показовим називається трансцендентне рівняння, в якому невідоме входить в показник ступеня деяких величин. При вирішенні показових рівнянь використовуються два основні методи:
1) перехід від рівняння .......... (1) до рівняння;
2) введення нових змінних.
Іноді доводиться застосовувати штучні прийоми.
Перший метод вирішення показових рівнянь заснований на наступній теоремі:
Якщо, то уравненіеравносільно рівняння.
Перелічимо основні прийоми відомості показового рівняння до рівняння виду (1).
1. Приведення обох частин рівняння до одного підставі.
2. Логарифмування обох частин рівняння (якщо вони строго позитивні) за однаковим основи.
Зауваження. Логаріфміровать можна, взагалі кажучи, по будь-якої підстави, але зазвичай логаріфміруют за однією з підстав ступенів, що входять в рівняння.
3. Розкладання лівій частині рівняння на множники і зведення рівняння до сукупності кількох рівнянь виду (1).
Логарифмічні рівняння - це трансцендентне рівняння, в якому невідоме входить в аргумент логарифма.
При вирішенні логарифмічних рівнянь використовуються два основні методи:
1) перехід від рівняння до рівняння виду;
2) введення нових змінних.
Зауваження. Так як область визначення логарифмічної функції тільки безліч позитивних дійсних чисел, при вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно або знаходити область допустимих значень рівняння (ОДЗ), або після перебування рішень рівняння робити перевірку.
Рішення найпростішого логарифмічного рівняння виду
засноване на наступному важливому властивості логарифмів:
логарифми двох позитивних чисел по одному і тому ж позитивному відмінному від одиниці основи рівні тоді і тільки тоді, коли рівні ці числа.
Для рівняння (1) з цієї властивості отримуємо: - єдиний корінь.
Для рівняння виду ............ .. (2)
отримуємо рівносильне рівняння.
Приклад 4. Знайдіть значення виразу, якщо пара є рішенням системи рівнянь.
Рішення. 1. Виходячи з області визначення логарифмічної функції отримуємо вимоги.
2. Так як рівняння системи містять логарифми по двом різним підставах, перейдемо до одного підставі 3:. Скориставшись властивостями логарифмів, отримаємо систему:. За визначенням логарифма маємо:. З другого рівняння системи отримуємо значення. З огляду на умову, робимо висновок що - сторонній корінь. З першого рівняння останньої системи знаходимо значення при:. Таким чином пара (9; 3) є єдиним рішенням початкової системи рівнянь.
3. Знайдемо значення виразу
Приклад 5. Знайдіть найбільшу суму, якщо пара є рішенням системи рівнянь.
Рішення. Маємо систему показових рівнянь. Особливістю цієї системи є те, що невідомі знаходяться як в показнику ступеня, так і в її основі. Першим кроком при вирішенні таких систем зазвичай намагаються залишити невідомі тільки в показнику ступеня.
У нашому випадку це неважко зробити, висловивши з другого рівняння системи:. Підставами отриманий вираз для в перше рівняння системи, отримаємо:. Отримали показове рівняння від однієї змінної.
Скористаємося властивостями ступеня:. У рівняння входять ступеня з двома різними підставами. Стандартним прийомом переходу до одній підставі є поділ обох частин рівняння на одну зі ступенів з найбільшим показником. У нашому випадку розділимо, наприклад, на, отримаємо показове рівняння:. Стандартним методом вирішення такого виду показового рівняння є заміна змінної. Нехай (помічаємо, що на підставі властивостей показовою функції, значення нової змінної повинно бути позитивним), тоді отримаємо рівняння. Знаходимо корені цього рівняння; . Вирішуємо сукупність двох рівнянь:. Отримуємо:; .
З рівняння знаходимо відповідні значення змінної:
; . Таким чином, пари та є рішеннями початкової системи.
Знайдемо суми виду і виберемо з них найбільшу, яка очевидно дорівнює 3.
Розглянемо кілька прикладів «комбінованих» систем рівнянь в які входять рівняння різних видів: ірраціональні, логарифмічні, показові.
Приклад 6. Вирішити систему рівнянь
Рішення. 1. На підставі властивостей логарифмічної функції, маємо,
2. Перетворимо систему, скориставшись властивостями ступеня і логарифма:
3. Друге логарифмічна рівняння системи повинна мати ті самі логарифми, раціональним вирішенням таких рівнянь є метод заміни змінної. Нехай (1), тоді друге рівняння системи набуде вигляду:. Вирішимо це дрібно-раціональне рівняння, враховуючи, що. Отримаємо:; . Скористаємося рівністю (1) і висловимо через.
При,, звідки. Підставами цей вислів в перше рівняння останньої системи:. Вирішимо це рівняння:, так як повинен бути позитивним, то це сторонній корінь; , Тоді з рівності, отримуємо.
При,, звідки. Підставами цей вислів в перше рівняння останньої системи:. Ми вже знайшли, що, отже дорівнює нулю може бути тільки другий співмножник твори:. Знайдемо коріння цього рівняння:. Очевидно, що - сторонній корінь. Отже, ще одним рішенням системи є пара.
Приклад 7. Розв'язати систему.
Рішення. 1. Відзначимо, що система змішаного типу, складається з логарифмічного і ірраціонального рівнянь. З огляду на область визначення логарифмічної функції, маємо:; ................... (1)
Область допустимих значень ірраціонального рівняння визначати не будемо, щоб не витрачати час на рішення системи нерівностей, яка при цьому вийти. Але тоді обов'язково, коли знайдемо значення змінних, необхідно зробити перевірку.
2. Скориставшись властивостями логарифма перетворимо перше рівняння системи:
Таким чином, з другого рівняння системи ми висловили одну змінну через іншу.
3. Підставами в друге рівняння системи замість змінної її вираження через, отримаємо ірраціональне рівняння від однієї змінної, яке будемо вирішувати зведенням обох частин в квадрат:
Знайдемо коріння квадратного рівняння:.
З огляду на, що, знайдемо значення змінної:.
4. З огляду на (1) робимо висновок, що - стороннє рішення. Отже, пара чисел (3; 5) не є рішенням початкової системи. Пара чисел (1, 3) задовольняє умові (1). Безпосередньою перевіркою переконуємося, що ця пара задовольняє і другому рівнянню системи.
Приклад 8. Вирішити систему
Рішення. 1. Розглянемо друге рівняння системи. Щоб позбутися від ірраціональності, усамітнитися квадратний корінь і зведемо обидві частини рівняння в квадрат:
Розглянемо це рівняння як квадратне, щодо змінної: і знайдемо його корені:; .
2. Обидві частини першого рівняння прологарифмируем по підставі 3, тим самим ми позбудемося в рівнянні від показових функцій по різних підставах:.
3. З огляду на знайдені вирази для змінної, вирішимо дві системи рівнянь:
А) Підставами вираз для в перше рівняння системи, отримаємо:. Скористаємося формулою переходу до нового основи:. Тоді з другого рівняння системи маємо:. Таким чином, пара є рішенням системи А). Безпосередньо перевіряємо, що ця пара задовольняє другого рівняння початкової системи.
Б) Підставами вираз для в перше рівняння системи, отримаємо:. Тоді з другого рівняння системи маємо:. Таким чином, пара є рішенням системи Б). Безпосередньо перевіряємо, що ця пара задовольняє другого рівняння початкової системи.
Завдання для самостійного рішення
1. Вирішити систему
2. Вирішити систему
4. Вирішити систему
5. Вирішити систему
6. Вирішити систему