Основні теоретичні відомості
Деякі рекомендації до вирішення ірраціональних рівнянь і систем
Існують два рівноцінних методу рішення ірраціональних рівнянь з квадратними коренями:
- Метод рівносильних переходів (з урахуванням ОДЗ). При цьому для правильного запису області допустимих значень, в загальному випадку необхідно вимагати невід'ємності всіх підкореневих виразів, а також виразів, яким рівні корені квадратні (якщо такі можна алгебраїчно висловити з рівняння).
- Метод переходу до рівняння-наслідку (без урахування ОДЗ). У цьому методі обов'язково потрібна перевірка коренів підстановкою.
Чесно кажучи, в ірраціональних рівняннях часом так складно правильно записати ОДЗ, що навіть якщо Ви будете намагатися це зробити, то коріння все одно краще перевіряти підстановкою, особливо якщо коріння вдають із себе цілі числа.
Зверніть увагу на дуже часту помилку - якщо Ви вирішуєте рівняння типу:
То при записі ОДЗ необхідно вимагати неотрицательность правій частині, тобто накладати умова:
Причому необхідно розуміти, що дана умова потрібно додатково додавати в ОДЗ навіть якщо до подібного рівняння Ви прийшли вже після кількох перетворень (возведений в квадрат), а не тільки в разі, коли рівняння спочатку виглядало відповідним чином.
В ірраціональних рівняння особливо актуально стає наступне зауваження: для того щоб твір кількох множників дорівнювало нулю, необхідно, щоб хоча б один з них дорівнював нулю, а інші існували. Коли множителями є коріння, а не просто дужки як в раціональних рівняннях, то вони часто можуть і не існувати. Так виникають помилки.
Якщо в ірраціональному рівнянні багато коренів, то вкрай бажано перед зведенням цього рівняння в квадрат перенести коріння справа наліво або навпаки так, щоб з кожної зі сторін вийшла саме сума коренів, тобто свідомо позитивне вираження. Якщо ж, з якихось причин, Ви вирішили зводити в квадрат різницю коренів (тобто вираз чий знак невідомий), то будьте готові отримати кілька сторонніх коренів. У цьому випадку обов'язково потрібно перевірити всі корені підстановкою, тому що правильно записати ОДЗ вже швидше за все не вийде.
Якщо в ірраціональному рівнянні є корінь в корені, то необхідно буде кілька разів зводити це рівняння в квадрат, при цьому головне розуміти, що у відповідності з викладеними вище умовами, при кожному такому зведенні можуть виходити все нові і нові умови для ОДЗ. У таких рівняннях при можливості краще перевіряти коріння підстановкою.
При вирішенні ірраціональних рівнянь часто зручно використовувати заміну. При цьому головне пам'ятати, що після введення заміни в деякий рівняння це рівняння має:
- по-перше, стати простіше;
- по-друге, більше не містити початкової змінної.
Крім того, важливо не забувати виконувати зворотну заміну, тобто після знаходження значень для нової змінної (для заміни), записувати замість заміни то, чого вона дорівнює через первинну змінну, прирівнювати цей вислів до знайденим значенням для заміни та знову розв'язувати рівняння.
При вирішенні систем ірраціональних рівнянь з двома невідомими найчастіше досить діяти за стандартною схемою. А саме, висловити одну з змінних з одного з рівнянь і підставити цей вислів замість відповідної змінної в інше рівняння. Після чого вийде деякий ірраціональне рівняння з однією невідомою, яке потім слід вирішити з урахуванням всіх правил рішення ірраціональних рівнянь. Значення першої змінної потім потрібно знайти використовуючи її вираження через вже знайдену змінну.
При вирішенні систем ірраціональних рівнянь з великою кількістю змінних також часто досить використовувати метод підстановки. Також при вирішенні систем ірраціональних рівнянь часто допомагає метод заміни змінних. При цьому потрібно розуміти, що після введення заміни змінних в систему:
- по-перше, вона знову-таки повинна спроститися;
- по-друге, нових змінних має бути стільки ж скільки і старих;
- по-третє, система більше не повинна містити старих змінних;
- по-четверте, потрібно не забути виконати зворотну заміну.
Основні властивості ступенів
При вирішенні ірраціональних рівнянь необхідно пам'ятати багато властивостей ступенів і коренів. Перерахуємо нижче основні з них. У математичних ступенів є кілька важливих властивостей:
Остання властивість виконується тільки при n> 0. Нуль можна зводити тільки в позитивну ступінь. Ну а основна властивість негативної ступеня записується в такий спосіб:
Основні властивості математичних коренів
Математичний корінь можна представити у вигляді звичайної ступеня, а потім користуватися всіма властивостями ступенів наведеними вище. Для подання математичного кореня у вигляді ступеня використовують наступну формулу:
Проте можна окремо виписати ряд властивостей математичних коренів, які ґрунтуються на властивостях ступенів описаних вище:
Для арифметичних коренів виконується наступна властивість (яке одночасно можна вважати визначенням кореня):
Останнє справедливо: якщо n - непарне, то для будь-якого a; якщо ж n - парне, то тільки при a більше або дорівнює нулю. Для кореня непарного степеня виконується також рівність (з під кореня непарного степеня можна виносити знак "мінус"):
Так як значення кореня парного степеня може бути тільки невід'ємним. то для таких коренів є наступне важливе властивість:
Отже завжди потрібно пам'ятати, що під коренем парного степеня може стояти тільки невід'ємне вираз, і сам корінь теж є невід'ємне вираз. Крім того, потрібно відзначити, що якщо використовується запис із позначкою математичного кореня, то показник ступеня цього кореня може бути тільки цілим числом, причому це число має бути більше або дорівнює двом:
Основні властивості квадратного кореня
Квадратним коренем називається математичний корінь другого ступеня:
Квадратний корінь можна витягти тільки з невід'ємного числа. При цьому значення квадратного кореня також завжди неотрицательно:
Для квадратного кореня існує два важливих властивості, які важливо дуже добре запам'ятати і не плутати:
Якщо під коренем стоїть кілька множників, то корінь можна витягати з кожного з них по-окремо. При цьому важливо розуміти, що кожен з цих множників по-окремо (а не тільки їх твір) повинні бути невід'ємними:
Зверніть увагу на інший випадок використання останнього властивості. Якщо під коренем квадратним є твір двох негативних величин (тобто за підсумком величина позитивна, а значить корінь існує), то цей корінь розкладається на множники таким чином:
Як успішно підготуватися до ЦТ з фізики і математики?
Для того щоб успішно підготуватися до ЦТ з фізики і математики, серед іншого, необхідно виконати три найважливіші умови:
- Вивчити всі теми і виконати всі тести і завдання наведені в навчальних матеріалах на цьому сайті. Для цього потрібно всього нічого, а саме: присвячувати підготовці до ЦТ з фізики і математики, вивчення теорії та вирішення завдань по три-чотири години щодня. Справа в тому, що ЦТ це іспит де мало просто знати фізику чи математику, потрібно ще вміти швидко і без збоїв вирішувати велику кількість завдань з різних тем і різної складності. Останньому навчитися можна тільки вирішивши тисячі задач.
- Вивчити всі формули і закони у фізиці, і формули і методи в математиці. Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул з фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без утруднень вирішити в потрібний момент більшу частину ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати тільки над найскладнішими завданнями.
- Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб прорешать обидва варіанти. Знову ж на ЦТ, крім уміння швидко і якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, що не переплутавши ні номера відповідей і завдань, ні власне прізвище. Також в ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань в задачах, який на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.
Успішне, старанне і відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результат, максимальний з того на що Ви здатні.