Рішення систем лінійних алгебраїчних уравненійявляется однією з основних задач лінійної алгебри. Це завдання має важливе прикладне значення при вирішенні наукових і технічних проблем, крім того є допоміжною при реалізації багатьох алгоритмів обчислювальної математики, математичної фізики, обробки результатів експериментальних досліджень.
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають систему рівнянь виду: (1)
де - невідомі; - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени.
Рішенням системи рівнянь (1) називають будь-яку сукупність чисел яка будучи поставлена в систему (1) на місце невідомих звертає всі рівняння системи в вірні числові рівності.
Систему рівнянь називають спільної. якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною. якщо не має рішень.
Спільну систему рівнянь називають визначеною. якщо вона має одне єдине рішення, і невизначеною. якщо вона має, принаймні, два різних рішення.
Дві системи рівнянь називають рівносильними або еквівалентними. якщо вони мають один і той же безліч рішень.
Систему (1) називають однорідною. якщо вільні члени дорівнюють нулю:
Однорідна система завжди є спільною - вона має рішення (можливо, не єдиний).
Якщо в системі (1). то маємо систему n лінійних рівнянь з n невідомими: де - невідомі; - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени.
Лінійна система може мати єдине рішення, нескінченно багато рішень або не мати жодного рішення.
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими
Якщо то система має єдине рішення;
якщо то система не має рішень;
якщо то система має безліч рішень.
Приклад. Система має єдине рішення пару чисел
Система має безліч рішень. Наприклад, рішеннями даної системи є пари чисел і т.д.
Система не має рішень, так як різниця двох чисел не може приймати двох різних значень.
Визначення. Визначником другого порядку називають вираз виду:
Позначають визначник символом D.
Числа а11, ..., а22 називають елементами визначника.
Діагональ, утворену елементами А11; а22 називають головною, діагональ, утворену елементами А12; а21 - побічної.
Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей.
Зауважимо, що у відповіді виходить число.
Приклад. Обчислимо визначники:
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими: де х1, Х2 невідомі; А11. ..., а22 - коефіцієнти при невідомих, b1, b2 - вільні члени.
Якщо система двох рівнянь з двома невідомими має єдине рішення, то його можна знайти за допомогою визначників другого порядку.
Визначення. Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називають визначником системи: D =.
У стовпчиках визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х1 і при, х2. Введемо два додаткових визначника, які виходять з визначника системи заміною одного зі стовпців стовпцем вільних членів: D1 = D2 =.
Теорема 14 (Крамера, для випадку n = 2). Якщо визначник D системи відмінний від нуля (D¹0), то система має єдине рішення, яке знаходять за формулами:
Дані формули називають формулами Крамера.
Приклад. Вирішимо систему за правилом Крамера:
Рішення. знайдемо числа
Скористаємося формулами Крамера і знайдемо рішення вихідної системи:
Визначення. Визначником третього порядку називають вираз виду:
У запис з плюсом входять: твір елементів на головній діагоналі, інші два доданків є твором елементів, розташованих у вершинах трикутників з підставами, паралельними головній діагоналі. Складові з мінусом утворюють по тій же схемі щодо побічної діагоналі.
Приклад. Обчислимо визначники:
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими: де - невідомі; - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени.
У разі однозначної відповіді систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими можна вирішити за допомогою визначників 3-го порядку.
Визначник системи D має вигляд:
Введемо три додаткових визначника:
Теорема 15 (Крамера, для випадку n = 3). Якщо визначник D системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке знаходять за формулами Крамера:
Приклад. Вирішимо систему за правилом Крамера.
Рішення. знайдемо числа
Скористаємося формулами Крамера і знайдемо рішення вихідної системи:
Зауважимо, що теорема Крамера застосовна, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і коли визначник системи D відмінний від нуля.
Якщо визначник системи дорівнює нулю, то в цьому випадку система може або не мати рішень, або мати незліченну безліч рішень. Ці випадки досліджуються особливо.
Відзначимо тільки один випадок. Якщо визначник системи дорівнює нулю (D = 0), а хоча б один з додаткових визначників відмінний від нуля, то система рішень не має, тобто є несумісною.
Теорему Крамера можна узагальнювати для системи n лінійних рівнянь з n невідомими: де - невідомі; - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени.
Якщо визначник системи лінійних рівнянь з невідомими то єдине рішення системи знаходять за формулами Крамера:
Додатковий визначник отримують з визначника D, якщо в ньому стовпець коефіцієнтів при невідомому xi замінити стовпцем вільних членів.
Зауважимо, що визначники D, D1. .... Dn мають порядок n.
Метод Гаусса рішення систем лінійних рівнянь
Одним з найбільш поширених методів рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод послідовного виключення невідомих -метод Гаусса. Даний метод є узагальненням методу підстановки і складається в послідовному виключенні невідомих до тих пір, поки не залишиться одне рівняння з одним невідомим.
Метод заснований на деяких перетвореннях системи лінійних рівнянь, в результаті яких виходить система, рівносильна вихідної системі. Алгоритм методу складається з двох етапів.
Перший етап називають прямим ходом методу Гауса. Він полягає в послідовному виключенні невідомих з рівнянь. Для цього на першому кроці ділять перше рівняння системи на (в іншому випадку здійснюють перестановку рівнянь системи). Позначають коефіцієнти отриманого наведеного рівняння, домножают його на коефіцієнт і віднімають з другого рівняння системи, виключаючи, тим самим, з другого рівняння (обнуляючи коефіцієнт).
Аналогічно надходять з іншими рівняннями і отримують нову систему, у всіх рівняннях якої, починаючи з другого коефіцієнти при. містяться тільки нулі. Очевидно, що отримана при цьому нова система, буде рівносильна вихідної системі.
Якщо нові коефіцієнти, при. не всі рівні нулю, можнотакім же чином виключити з третього і наступних рівнянь. Продовжуючи цю операцію для наступних невідомих, призводять систему до так званого трикутного вигляду:
Тут символами і позначені змінилися в результаті перетворень числові коефіцієнти і вільні члени.
З останнього рівняння системи єдиним чином визначають. а потім послідовною підстановкою - інші невідомі.
Зауваження. Іноді, в результаті перетворень, в будь-якому з рівнянь все коефіцієнти і права частина звертаються в нуль, тобто рівняння перетворюється в тотожність 0 = 0. Виключивши таке рівняння з системи, зменшують число рівнянь в порівнянні з числом невідомих. Така система не може мати однозначної відповіді.
Якщо ж в процесі застосування методу Гаусса яке-небудь рівняння перетвориться в рівність виду 0 = 1 (коефіцієнти при невідомих звернулися в 0, а права частина прийняла нульове значення), то вихідна система не має рішення, тому що подібне рівність є невірним при будь-яких значеннях невідомих.
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
де - невідомі; - коефіцієнти при невідомих, - вільні члени.
Метод Гаусса рішення даної системи полягає в наступному. Розділимо всі члени першого рівняння на. а потім, помноживши отримане рівняння на віднімемо його відповідно з другого і третього рівнянь системи (2). Тоді з другого і третього рівнянь невідоме буде виключено, і вийде система виду: (3)
Тепер розділимо друге рівняння системи (3) на помножимо отримане рівняння на і віднімемо з третього рівняння. Тоді з третього рівняння невідоме буде виключено і вийде система трикутного виду: (4)
З останнього рівняння системи (4) знаходимо. підставляючи знайдене
значення в перше рівняння, знаходимо
Приклад. Вирішимо систему методом Гаусса.
Рішення. Розділивши перше рівняння на 2, отримаємо рівносильну систему:
Віднімемо від другого рівняння подвоєне перше, а з третього - перша, помножене на 5. Отримаємо:
Віднімемо з третього рівняння подвоєне друге, а потім розділимо друге рівняння на -7 (коефіцієнт при), а третє - на 15 (новий коефіцієнт при). Система набуде вигляду:
Звідси - єдине рішення системи.
Приклад. Вирішимо систему методом Гаусса.
Рішення. Система після виключення з другого і третього рівнянь набуде вигляду:
Якщо потім відняти друге рівняння з третього, то останнє рівняння стане тотожністю 0 = 0. В системі залишилося два рівняння:
Її рішення можна записати у вигляді: # 8210; будь-яке число,
Таким чином, дана система має нескінченно багато рішень.
Відповідь. Система має нескінченно багато рішень.
Приклад. Вирішимо систему методом Гаусса.
Рішення. Застосувавши до цієї системи метод Гауса, отримаємо
Звідки Останнє рівність є невірним при будь-яких значеннях невідомих, отже, система не має рішення.
Відповідь. Система не має рішень.
Зауважимо, що розглянутий раніше метод Крамера можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи повинен бути відмінний від нуля. Метод Гаусса є більш універсальним і придатний для систем з будь-яким числом рівнянь.