В математиці і фізиці, символи Крістоффеля. названі на честь Елвіна Бруно Крістофеля (1829-1900), є координатними виразами зв'язності Леві-Чивита або афінної зв'язності. Символи Крістоффеля використовуються в диференціальної геометрії для практичних обчислень геометричних величин в заданій системі координат. Обчислення такого роду зазвичай дуже громіздкі і вимагають виняткової уваги до деталей, тому їх краще виконувати на комп'ютері за допомогою пакетів комп'ютерної алгебри. Формальні, безиндексние визначення зв'язності абстрагуються від конкретної системи координат і тому більш кращі при доказі математичних теорем.
визначення
Символи Крістоффеля можуть бути визначені з того умови, що коваріантна похідна метричного тензора дорівнює нулю:
Для скорочення запису символ Набла і символи приватних похідних часто опускаються, замість них перед індексом, за яким здійснюється диференціювання, ставиться крапка з комою ";" в разі коваріантною і кома "," в разі приватної похідною. Таким чином, вираз вище можна також записати як
Явні вирази для символів Крістофеля виходять, якщо скласти це рівняння і інші два рівняння, які виходять циклічної перестановкою індексів:
де - контраваріантних метрика, обернена до. яка визначається (через дельта Кронекера). Незважаючи на те, що символи Крістофеля записуються в тих же позначеннях, що і звичайні тензори, вони не є тензорами, бо не перетворюються як тензори при переході в нову систему координат.
Можливості підключення в безиндексних позначеннях
Нехай X і Y - векторні поля з компонентами і. Тоді k -а компонента коваріантною похідною поля Y по відношенню до X задається виразом
У деяких старих підручниках в цьому виразі пишуть dx замість X. Тут і ніжк використовується правило підсумовування Ейнштейна, тобто по повторюваним індексам мається на увазі підсумовування. Згортка тензора з метричним тензором означає підняття / опускання індексу:
Необхідно мати на увазі, що і що (дельта Кронекера). Під метричним тензором зазвичай розуміється тензор g i k з двома індексами внизу (з коваріантними індексами). Тензор з двома верхніми індексами. знаходиться шляхом рішення системи лінійних рівнянь.
Умова відсутності крутіння у зв'язності. еквівалентно симетричності символів Крістофеля по двох нижніх індексах:
заміна координат
При заміні змінних на. базисні вектори перетворяться коваріантного,
звідки випливає формула перетворення символів Крістофеля:
Риса означає систему координат y. Таким чином, символи Крістофеля НЕ перетворюються як тензор. Вони являють собою більш складний геометричний об'єкт в т.зв.. en: jet bundle з нелінійним законом перетворення від однієї системи координат до іншої.
Див. також
метричний тензор