В електричному і магнітному полях
План рішення задач
1. Рішення слід починати з малюнка, на якому необхідно показати напрямок силових характеристик полів - напруженості електростатичного поля і магнітної індукції. Потім, відповідно до формули Лоренца:
потрібно показати напрямок електричної сили і магнітної - (це сила Лоренца).
2. Напрямок сил визначаємо відповідно до формули (1):. а сила Лоренца визначається за правилом лівої руки. розташовуючи руку так, щоб лінії магнітної індукціівходілі в долоню, чотири пальці направити уздовж швидкості частинки, тоді відігнутий великий палець покаже напрям сили. Але слід мати на увазі. що у формулі (1) заряд частіцизапісивается зі своїм знаком; отже, для негативно зарядженої частинки. а сила Лоренца, визначена за правилом лівої руки для позитивно заряджених частинок, в разі негативного заряду буде направлена протилежно знайденої силі.
3. На малюнку необхідно показати також траєкторію руху частинки. Вона зазвичай задана в умові завдання: 1) або обумовлена явно, наприклад, частка рухається прямолінійно. або знайти силу еквівалентного кругового струму, або дан крок гвинтової лінії; 2) або вказана неявно. У цьому другому випадку задається кут між векторами швидкості частинки і магнітної індукції. Цих даних достатньо, щоб визначити величину сили Лоренца, яка створює нормальне (доцентрове) прискорення частинки (див. П. 7.3).
4. Зауважимо, що для елементарних частинок: електрона і протона, - а також і для іонів, що діє на них сила тяжіння мала в порівнянні з електричною і магнітною силами. Тому її опускають в рівняннях руху заряджених частинок в електричних і магнітних полях.
Завдання 38. Однозарядний іон пройшов прискорює різниця потенціалів і влетів перпендикулярно лініям магнітної індукції в однорідне магнітне поле з індукцією. У магнітному полі іон почав рух по колу радіусом. Визначте питома заряд іона і його відносну атомну масу
Розглянемо рух електрона в магнітному полі. На електрон діє сила Лоренца
напрямок якої знаходимо за правилом лівої руки з урахуванням знака заряду. Напрямок сили, отримане за цим правилом для заряду. змінюємо на протилежне, так як електрон має негативний заряд. Щоб траєкторія руху електрона розташовувалася в площині малюнка, вектор магнітної індукції направимо перпендикулярно цій площині (рис. 70 а). Показавши на малюнку вектори швидкості і сили Лоренца. зображуємо траєкторію руху електрона. При цьому коло проводимо так, щоб сила Лоренца, яка є доцентровою, була спрямована до центру кола, а швидкість частинки - по дотичній до траєкторії. Сила Лоренца повідомляє електрону нормальне (доцентрове) прискорення. Запишемо другий закон Ньютона в проекції на нормаль до траєкторії:
Тут - кут між векторами швидкості і магнітної індукції; за умовою завдання
Період обертання електрона - час одного обороту, знайдемо з формули шляху для рівномірного руху електрона по колу:
Необхідна для розрахунку відношення радіуса кола до швидкості частинки висловимо з закону динаміки (2):
Після підстановки виразу (4) в формулу (3) отримуємо розрахункову формулу величини періоду обертання електрона в магнітному полі:
Обчислюємо величину періоду звернення частки:
Силу еквівалентного кругового струму, створюваного рухом електрона, знайдемо, використовуючи означальні формулу величини постійного струму:. де - заряд, перенесений через перетин провідника за час. Для цього подумки помістимо на кругову орбіту електрона провідник і зауважимо, що за час, що дорівнює періоду обертання, електрон переносить свій заряд, рівний При цьому відповідний струм
Обчислюємо силу еквівалентного кругового струму, зазначивши, що його напрямок, показаний на рис. 70 а, - проти годинникової стрілки, протилежно швидкості руху електрона, так як за напрям струму приймають напрям швидкості руху позитивних зарядів:
Магнітний момент еквівалентного кругового струму знаходимо по визначальних формулою:
де - струм в контурі; - площа, обмежена контуром, - одинична нормаль до площі контуру, її напрямок пов'язаний з напрямком струму правилом правого гвинта (свердлика). У нашому випадку вектори і магнітний момент спрямовані перпендикулярно площині, в якій розташовані траєкторія електрона і круговий струм (рис. 70 б).
Підставляючи в формулу (7) величину струму за формулою (6) і радіус кола, виражений з формули (4), отримаємо розрахункову формулу магнітного моменту еквівалентного кругового струму в наступному вигляді:
Обчислюємо величину магнітного моменту кругового струму, створеного рухом електрона в магнітному полі:
Завдання 40. Протон зі швидкістю влітає в однорідне магнітне поле з індукцією. Вектор швидкості протона спрямований під кутом до ліній магнітної індукції. Визначте радіус і крок гвинтової лінії, по якій рухається протон.
Для опису руху протона зручно представити вектор його швидкості як суму двох складових, одна з яких - спрямована уздовж ліній індукції магнітного поля. а друга - перпендикулярна їм (рис. 71). Тоді сила Лоренца, що діє на протон, запишеться в наступному вигляді:
так як для колінеарних векторів величина. Отже, складова швидкості. т. е. не змінюється ні за модулем, ні за спрямуванням. З цією швидкістю протон буде рухатися рівномірно і прямолінійно уздовж ліній магнітного поля Складова швидкості (див. Рис. 71) залишається постійною за модулем, але безперервно змінює свій напрямок під дією сили Лоренца, так як ця сила повідомляє протону доцентровийприскорення.
Таким чином, протон бере участь в двох рухах: рівномірному і прямолінійному зі швидкістю паралельно лініям індукції МП і в обертальному русі в площині, перпендикулярній лініям магнітної індукції. В результаті накладення цих двох незалежних рухів траєкторією протона буде гвинтова лінія.
Для визначення радіуса гвинтовий лінії застосуємо другий закон Ньютона в проекції на нормаль до окружності витка:
Підставляючи складову швидкості протона. висловимо радіус
Обчислюємо величину радіуса гвинтовий лінії
Крок гвинтової лінії знаходимо за формулою шляху при рівномірному прямолінійному русі:
де - період обертання (час одного обороту). Щоб знайти величину періоду, запишемо формулу шляху для рівномірного руху протона по колу зі швидкістю:
Підставляючи величину радіуса кола за формулою (3), отримуємо період обертання протона в магнітному полі:
З урахуванням цього виразу формула (4) перетворюється в наступну розрахункову формулу кроку гвинтової лінії:
Завдання 41. Альфа-частинка зі швидкістю влітає в схрещені під прямим кутом електростатичне і магнітне поля. Напруженість електричного поля. магнітна індукція Визначте прискорення частинки в момент входження її в область простору, де існують поля. Швидкість частинки перпендикулярна векторах і. а сили, що діють на -часткою з боку цих полів, спрямовані протилежно один одному.
Показуємо на рис. 72 напрямок силових характеристик полів і. відповідно до умовою завдання, і напрямок електричної і магнітної сил:. тому. так як заряд частинки позитивний; за умовою завдання. Після цього визначаємо напрямок вектора швидкості частинки - воно повинно бути таке, щоб за правилом лівої руки отримати направлення сили Лоренца, яка вже показана, як спрямована протилежно електричної силі (див. Рис. 72).
Записуємо формулу Лоренца для сили, що діє на заряджену частинку в електричному і магнітному полях:
Ця формула відображає принцип суперпозиції сил (незалежності їх дії). Проекція сили на вісь. яка обрана паралельної вектору напруженості електричного поля. запишеться у вигляді:
Тут під час запису модуля сили Лоренца враховано, що вектор. тому.
Проекцію прискорення на вісь визначимо за другим законом Ньютона:
Обчислюємо прискорення, з огляду на, що 1 а.е.м. :
Проекція прискорення альфа-частинки на вісь позитивна, отже, прискорення частинки направлено вздовж осі і збігається за напрямком з електричною силою, яка по модулю більше, ніж магнітна, в умовах даного завдання.
Завдання 42. У схрещені під прямим кутом однорідні електричне та магнітне поля влітає іон. Напруженість магнітного поля. а напруженість електростатичного поля. Визначте величину і напрямок вектора швидкості. при яких рух іона в цих полях буде прямолінійним і рівномірним.
В області простору, де поєднані електричне та магнітне поля, на рухомий іон діють дві сили: електрична і магнітна - сила Лоренца. Для позитивно зарядженого іона електрична сила сонаправлени з напруженістю електричного поля: (рис. 73), так як ця сила
Сила Лоренца визначається формулою
При прямолінійній рівномірному русі іона його швидкість. а прискорення. Отже, відповідно до другого закону Ньютона:. - необхідно, щоб результуюча сила. діюча на заряджену частинку з боку обох полів, дорівнювала нулю, т. е. дія електричної і магнітної сил має бути взаємно скомпенсировано:
Відповідно, направляємо вектор сили Лоренца (див. Рис. 73). Вектор швидкості іона спрямований уздовж лінії, перпендикулярній вектору сили Лоренца, так як, згідно векторному добутку (2),. З двох ліній, перпендикулярних осі. вздовж якої спрямована сила Лоренца, вибираємо для швидкості вісь. а не . так як в разі сила Лоренца звернулася б в нуль (див. формулу (2)). Вектор направимо в позитивному напрямку осі. щоб за правилом лівої руки отримати заданий напрямок сили Лоренца (див. рис. 73).
Відповідно до формули (3), прирівнюємо модулі електричної і магнітної сил:
Тут у векторному добутку. так як швидкість частинки (див. рис. 73). З рівності (4) висловлюємо шукану величину швидкості іона:
Тут магнітна проникність вакууму. так як тільки в вакуумі можливий рух іонів без зіткнень з молекулами середовища - повітря.
Обчислюємо швидкість іона за розрахунковою формулою (5):
Відзначимо, що розглянуте вище рух іонів в схрещених електричному і магнітному полях використовується в фільтрі швидкостей, який зазвичай є складовою частиною мас-спектрометрів і інших приладів і пристроїв. Фільтр призначений для виділення з пучка іонів частинок з певною швидкістю, величину якої можна розрахувати, як це зроблено в рішенні даного завдання.