Іноді кажуть, що Декарт «звів геометрію до алгебри», розуміючи під алгеброю, звичайно, алгебру числову, арифметичну. Це груба помилка. Вірно, що Декарт подолав прірву між величиною і числом, між геометрією і арифметикою, але досяг він цього не зведенням однієї мови до іншої, а створенням нової мови - мови алгебри. За синтаксису нову мову збігається з арифметичної алгеброю, але за семантикою - з геометричною. Символи в мові Декарта позначають не числа і не величини, а відносини величин. У цьому - вся суть перевороту, виробленого Декартом.
Сучасний Новомосковсктель, мабуть, неодмінно потисне плечима: яка різниця? Невже цей логічний нюанс міг мати серйозне значення? Виявляється, міг. Саме цей нюанс завадив грекам зробити наступний крок у своїй математиці.
Ми настільки звикли ставити ірраціональні числа на одну дошку з раціональними, що перестали віддавати собі звіт в тому, яке глибоке розходження лежить між ними. Ми пишемо √2 точно так же, як пишемо 4/5. і називаємо √2 числом, а коли потрібно, замінюємо на наближене значення, і ми ніяк не можемо зрозуміти, чому стародавні греки так болісно реагували на несумірність відрізків. Але якщо трохи подумати, то не можна не погодитися з греками, що √2 - це не число. Його можна уявити як нескінченний процес, який породжує послідовні знаки розкладання в десяткову дріб. Можна уявити його також у вигляді перетину в області раціональних чисел, т. Е. Як якесь правило, яке ділить всі раціональні числа на два класи: ті, які менше √2 і які більше √2. В даному випадку правило досить просте: раціональне число a належить до першого класу, якщо a 2 <2 и ко второму — в противном случае. Можно, наконец, представить √2 в виде отношения между двумя отрезками; в данном случае — между диагональю квадрата и его стороной. Эти представления эквивалентны между собой, но никак не эквивалентны представлению о целом или дробном числе.
Чи означає це, що ми робимо помилку або нестрогість, звертаючись з коренем з двох як з числом? Зовсім ні. Мета математики - створення мовних моделей дійсності, і гарні всі засоби, що ведуть до цієї мети. Чому б нашій мові поряд зі знаками типу 4/5 не містити і знаки типу √2? «Моя мова - що хочу, те й роблю». Важливо тільки, щоб ми вміли інтерпретувати ці знаки і здійснювати над ними мовні перетворення. Але інтерпретувати √2 ми вміємо. У практичних обчисленнях основою інтерпретації може служити перше з наведених вище уявлень, в геометричній теорії - третє. Чи вміємо ми і виробляти викладки з ними.
Тепер залишилося тільки уточнити термінологію. Домовимося то, що ми раніше називали числами, називати раціональними числами, нові об'єкти називати ірраціональними числами, а просто числами (дійсними числами по сучасної математичної термінології) називати і ті і інші.
Отже, в кінцевому рахунку ніякої принципової різниці між √2 і 4/5 немає і ми виявилися мудрішими греків. Цю мудрість протягували контрабандою все ті, хто оперував зі знаком √2 як з числом, визнаючи разом з тим, що воно «ірраціонально». Обґрунтував і узаконив цю мудрість Декарт.