Завдання про складеному стрижні
Канонічні рівняння методу сил
Методи розкриття статичної невизначеності
Найбільш часто для розкриття статичної невизначеності (рішення задач) застосовується метод сил. Його сутність полягає в наступному: додатково до наявних незалежним рівнянням рівноваги статично невизначена система звільняється від додаткових зв'язків, а їх дія замінюється силами і моментами сил. Значення сил (моментів сил) підбирається так, щоб переміщення відповідали тим обмеженням, які накладають відкинуті зв'язку. Тут невідомі - сили, тому - «метод сил». Існують інші методи: наприклад, метод переміщень, в якому за невідомі приймають не сили, а переміщення стрижнів.
Завдання вирішуються, якщо використовувати додаткові співвідношення, що випливають з умови спільності деформацій. Наприклад, якщо додатково до рівнянь статики Sх = 0, Sу = 0, S м = 0 додати рівняння спільності деформацій
При використанні методу сил зручно складати рівняння для визначення невідомих одноманітно, в вигляді так званих «канонічних» рівнянь.
Позначимо dik взаємне зміщення точок системи, де
i - перший індекс- напрямок зсуву,
до - другої індекс - позначення сили, що викликала зміщення.
Якщо застосувати принцип незалежності дії сил, то сума окремих переміщень від дії всіх сил (включаючи реакції відкинутих частин) буде дорівнює нулю на кожному напрямку, наприклад, осей 1,2,3, (в тому числі x, y, z). Рівняння візьмуть вигляд: d1 [Х1, Х2 ... Р] = d1Х1 + d1Х 2 + ... + d1Р = 0
d2 [У1, У2 ... Р] = d2У1 + d2У2 + ... + d2Р = 0
d3 [Z1, Z2 ... Р] = d3Z1 + d1Z2 + ... + d3Р = 0,
Тут Х, У, Z-невідомо, Р - задані сили.
Якщо відомі деякі з сил, то число рівнянь скоротиться.
При математичному рішенні рівнянь dik має сенс коефіцієнта, який визначається як зміщення в напрямку i від сили К. рівній 1
Знайдемо напруги в стрижні, закріпленому в двох перетинах. На ділянці КС стрижень має жорсткість Е1 А1 на ділянці СВ - жорсткість E2 A2. З статичної частини завдання знаходимо Sх º 0,
Sy = Rk + RB - F = 0, т. Е. Завдання один раз невизначена.
Розглянемо геометричну частину завдання. Звільнивши верхню опору, даємо стрижня можливість деформуватися.
Зсув точки К за рахунок стиснення ділянки ВС складе DF. Докладемо реакцію Rk (невідома Х) .Стержень повернеться в початкове положення за рахунок розтягування ділянок ВС і СК сумарно на величину D х. усунувши D F .Тоді рівняння спільності деформацій DF + D х = 0.
Величина деформацій згідно із законом Гука
Вирішуючи спільно з рівняннями статики, отримуємо значення
З отриманої відповіді випливає, що більш жорсткі елементи сприймають великі навантаження. Це є властивістю статично невизначених систем.