властивості прямої
Ви вже вивчали тему про прямий і знаєте, що через будь-яку точку можна проводити безліч прямих.
Але якщо точки не збігаються, то через них можна проводити тільки одну пряму.
Якщо ж ми маємо дві неспівпадаючі прямі, які лежать на площині, то з попереднього визначення випливає, що вони або перетинаються в одній точці, або ж є паралельними.
Якщо ж розглядати розташування 2-х прямих в тривимірному просторі, то тут існує три варіанти:
• Перший, коли прямі перетинаються;
• Другий, коли вони паралельні;
• Третій, коли прямі схрещуються.
Також варто згадати, що пряма лінія в декартовій системі координат, як правило, задається на площині рівнянням 1-ступеня, тобто лінійним рівнянням.
Загальне рівняння прямої на площині
А тепер прийшов час познайомитися із загальним рівнянням прямої, так як в геометрії нам доведеться мати справу саме з ним.
Тому слід знати наступне визначення, в якому говориться, що будь-яка пряма, яка є на площині може бути задана рівнянням першого порядку.
Це загальне рівняння прямої представлено нам у такому вигляді:
в якому А, В, С - деякі числа
Але тут слід запам'ятати, що такі постійні коефіцієнти А і В одноразово не можуть дорівнювати нулю, оскільки таке рівняння втратить будь-який сенс.
Тепер ми з вами з'ясували, що наведене вище рівняння першого порядку, як раз і є загальним рівнянням прямої.
А ось в залежності від значень постійних А, В і С ми з вами розглянемо можливі приватні варіанти:
Рівняння прямої, що проходить через дві точки
Припустимо у нас є 2 точки А (x1, y1) і В (x2, y2) і через них проходить пряма. Але слід зазначити, що точки:
То в такому випадку рівняння можна знайти, якщо використовувати наступну формулу:
Рівняння прямої в просторі
Тепер давайте уявимо, що нам дана пряма, що проходить через точки А (х1, у1, z1) і В (х2, у2, z2), тоді, в цьому випадку рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме такий вигляд:
Тут варто акцентувати увагу на те, що коли якийсь із цих знаменників буде дорівнює нулю, то необхідно і відповідний чисельник також прирівняти до нуля.
Тепер давайте запишемо це рівняння в спрощеному вигляді і дивимося, який вигляд воно набуло:
У разі, якщо x1 ≠ x2 і x = x1, якщо x1 = x2.
Даная дріб, яка має вигляд:
буде дорівнює = k і є кутовим коефіцієнтом прямої.
Тепер давайте більш детально розглянемо на конкретному прикладі.
Припустимо, нам потрібно знайти рівняння прямої, що проходить через такі точки А (1,2) і В (3,4).
Рішення. Якщо ми з вами до цих даних можна застосувати формулу, яку ми розглядали вище, то у нас вийде такий результат:
Вирішення задач
Нам дано точки А (-1, 1) і В (1, 0). Потрібно скласти рівняння прямої, що проходить через дані точки.
Рішення. Нам вже відомо, що для даної прямої має місце рівняння такого виду, як ax + by + c = 0. А так як нам відомо, що точки А і В лежать на прямій, то звідси випливає висновок, що координати цих точок відповідають для вирішення цього рівняння.
Тому ми беремо і підставляємо в це рівняння координати даних точок і в результаті отримуємо:
-a + b + c = 0, a + c = 0.
Дотримуючись результатами рівняння, з'являється можливість висловити два коефіцієнта через третій. Наприклад, а й b через а = -c, а b = -2c. Тепер візьмемо і підставимо ці значення а і b в рівняння прямої. Дивимося, що у нас вийшло:
Ми бачимо, що дане рівняння можна скоротити, і в результаті отримуємо рівняння нашим прямим, яке буде виглядати так: