Нехай в прямокутній декартовій системі координат на площині задана точка і вектор. Потрібно скласти рівняння прямої. що проходить через точку і перпендикулярної вектору. (Див. Рис. 13)
Виберемо довільну точку на прямій. Тоді вектор лежить на прямій. Так як пряма перпендикулярна вектору за умовою, то і вектор перпендикулярний вектору. а значить . звідки
Рівняння (3.1) є рівнянням прямої на площині, що проходить через точку і перпендикулярної вектору.
Всякий вектор, перпендикулярний прямій називається вектором нормалі прямої. Вектор є вектором нормалі прямої.
Приклад. Скласти рівняння прямої. що проходить через точку і перпендикулярної вектору. якщо і .
Рішення. Знаходимо координати вектора. є вектором нормалі прямої:
Підставляючи в рівняння (3.1) координати точки. тобто . і координати вектора. тобто . . знаходимо шукане рівняння прямої:
Перетворимо рівняння (3.1) наступним чином:
Позначивши. отримуємо загальне рівняння прямої на площині виду:
Досліджуємо рівняння (3.2):
1. При. . рівняння (3.2) набуде вигляду:
Розділивши обидві частини останнього рівняння на
позначивши. отримуємо рівняння прямої на площині в «відрізках» виду:
де і величини відрізків, які пряма відсікає від осей координат (див. рис. 14).
Приклад. Скласти рівняння прямої. що проходить через точку і відтинає від осей координат рівні відрізки (див. рис. 15).
Рішення. Нехай рівняння шуканої прямої має вигляд (3.3), тобто. Оскільки за умовою, то рівняння (3.3) можна переписати у вигляді: або.
Оскільки точка лежить на прямій. то підставляючи її координати. в останнє рівняння, знаходимо:. звідки. Отже, - рівняння шуканої прямої.
Приклад. Побудувати пряму.
Рішення. Наведемо задане рівняння до рівняння виду (3.3):
Відзначимо на осі точку. а на осі точку і через ці точки проведемо пряму. Це і буде шукана пряма (див. Рис. 16).
Рівняння (3.2) можна переписати і іншим чином:
Позначивши. . отримаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до позитивного напрямку осі (див. Рис. 17), тобто.
З малюнка 17 випливає, що для будь-якої точки виконується рівність.
Приклад. Скласти рівняння прямої. що проходить через точку і утворює з позитивним напрямом осі кут.
Рішення. Нехай дані рівняння прямої запишеться у вигляді (3.4). За умовою . значить. отже.
Оскільки точка лежить на прямій. то підставляючи в останнє рівняння. знаходимо:. звідки.
Таким чином, шукане рівняння прямої має вигляд:.
Нехай пряма проходить через точку і її напрямок характеризується кутовим коефіцієнтом. тоді рівняння цієї прямої можна записати у вигляді:
де - поки невідома величина.
Так як точка лежить на прямій. то її координати задовольняють рівняння прямої. тобто має місце рівність:. звідки. Підставляючи значення в рівняння. отримуємо: або
Рівняння (3.5) з різними значеннями називається також рівнянням пучка прямих з центром в точці.
З цього пучка можна визначити лише пряму, паралельну осі. так як .
Приклад. Скласти рівняння прямої. що проходить через точку перетину прямих і і утворює з позитивним напрямом осі кут.
Рішення. Координати точки перетину прямих і знаходимо з системи рівнянь цих прямих:
Склавши ці рівняння в даній системі, отримуємо:. звідки. Тоді.
Отже, координати точки.
За умовою . значить. Підставляючи в рівняння (3.5) і. знаходимо шукане рівняння прямої
2. При. . рівняння (3.2) набуде вигляду:.
Це рівняння прямої. що проходить через початок координат - точку і точку. (Див. Мал. 18)
Приклад. Побудувати пряму.
Рішення. Рівняння прямої є загальним рівнянням прямої на площині. . . що проходить через точку і точку. (Див. Мал. 19)
3. При. . рівняння (3.2) набуде вигляду: або. Це рівняння прямої на площині паралельної осі і проходить через точку. (Див. Мал. 20)
Приклад. Побудувати пряму.
Рішення. Рівняння прямої є загальним рівнянням прямої на площині. . . паралельної осі і проходить через точку. (Див. Мал. 21).
4. При. . рівняння (3.2) набуде вигляду: або.
Це рівняння прямої на площині паралельної осі і проходить через точку. (Див. Мал. 22)
Приклад. Побудувати пряму.
Рішення. Рівняння прямої є загальним рівнянням прямої на площині. . паралельної осі і проходить через точку. (Див. Мал. 23)
5. При. . рівняння (3.2) набуде вигляду: або. Це рівняння координатної осі (Див. Мал. 24)
6. При. . рівняння (3.2) набуде вигляду: або. Це рівняння координатної осі. (Див. Мал. 25)
Отже, розглянуті всі можливі випадки загального рівняння (3.2) прямий на площині.
Виведемо рівняння прямої. що проходить через дві задані точки і на площині в прямокутній декартовій системі координат. (Див. Мал. 26)
Оскільки точка лежить на прямій то, підставляючи і в рівняння (3.5), знаходимо, що рівняння прямої має вигляд:
де - поки невідомий коефіцієнт.
Так як пряма проходить і через точку. то її координати повинні задовольняти рівнянню (3.6), тобто:
Підставляючи знайдене значення в рівняння (3.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки і:
Приклад. Скласти рівняння прямої. що проходить через точки і.
Рішення. Підставляючи в рівняння (3.7). і. . знаходимо шукане рівняння прямої: