Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії
УравненіеЛапласа - диференціальне рівняння в приватних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:
і є окремим випадком рівняння Гельмгольца.
Рівняння розглядають також у двовимірному і одновимірному просторі. У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:
Також і в n-мірному просторі. В цьому випадку нулю прирівнюється сума n других похідних.
За допомогою диференціального оператора
- (оператора Лапласа) - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як
В цьому випадку розмірність простору вказується явно (або мається на увазі).
Рівняння Лапласа відноситься до еліптичному увазі. Функції, які є рішеннями рівняння Лапласа, називаються гармонійними функціями. Неоднорідне уравненіеЛапласа називається рівнянням Пуассона.
Зауваження: все сказане вище відноситься до декартових координатах в плоскому просторі (як і вона була його розмірність). При використанні інших координат уявлення оператора Лапласа змінюється, і, відповідно, змінюється запис рівняння Лапласа (приклад - див. Нижче). Ці рівняння також називаються рівнянням Лапласа, проте для усунення неоднозначності термінології при цьому зазвичай явно додається вказівку системи координат (і, при бажанні повної ясності, розмірності), наприклад: "двовимірне рівняння Лапласа в полярних координатах".
. Рівняння коливань струни
1.1. Рівняння малих поперечних коливань
Рівняння коливань струни відноситься до рівнянь гіперболічного типу. Кожну точку струни можна охарактеризувати значенням її абсциси x. Для визначення положення струни в момент часу t досить знати компоненти вектора зміщення точки x в момент часу t. Будемо припускати, що зміщення струни лежать в одній площині (x, U) і що вектор зміщення перпендикулярний в будь-який момент часу до осі x; тоді процес коливання можна описати однією функцією U (x, t) (дивись малюнок).
Функція U (x, t) характеризує вертикальне переміщення струни.